¿Alguien sabe cómo resolver la ecuación diferencial: [matemáticas] y ‘(t) + ty (t) = 0, y (0) = 1? [/ Matemáticas] Tienes que resolver la ecuación usando transformadas de Fourier.

Answer 1

Me gustaría ofrecer otra perspectiva. Si definimos la Transformada de Fourier (FT) por

[matemáticas] \ hat {y} = \ matemáticas {F} \ {y \} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \! e ^ {- i \ omega t} y (t) \, dt [/ math]

y la Transformada inversa de Fourier (IFT) por

[matemáticas] y = \ matemáticas {F} ^ {- 1} \ {\ hat {y} \} = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \! e ^ {i \ omega t} \ hat {y} (\ omega) \, d \ omega [/ math],

entonces podemos establecer formalmente las siguientes identidades:

[matemáticas] \ matemáticas {F} \ {y ‘\} = i \ omega \ hat {y} (\ omega) [/ matemáticas]

(anotado anteriormente) y

[matemáticas] \ matemáticas {F} \ {ty \} = i \ hat {y} ‘(\ omega) [/ matemáticas].

Si aplica el FT a su ODE y cancela el [math] i [/ math] común, entonces obtiene el mismo ODE. Quizás este era el punto del ejercicio.

Para incorporar la condición inicial, podría usar

[matemáticas] 1 = y (0) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ hat {y} (\ omega) \, d \ omega [/ math]

para normalizar su solución general. Necesitará calcular una integral gaussiana. Por supuesto, primero puede aplicar el IFT y luego incorporar el IC.

Espero que esto ayude.

Answer 2

Entonces, la Transformación de Fourier le dice que siempre que tenga una función y (t), puede reescribir esto como:

[matemáticas] y (t) = \ int \ hat {y} (\ tau) e ^ {2 \ pi i \ tau t} d \ tau. [/ matemáticas]

y ‘(t) = \ frac {dy} {dt} = (2 \ pi i) \ int \ tau \ hat {y} (\ tau) e ^ {2 \ pi i \ tau t} d \ tau.

La ecuación diferencial se convierte en:

[matemáticas] \ int \ left (2 \ pi i \ tau + t \ right) \ hat {y} (\ tau) e ^ {2 \ pi i \ tau t} = 0 [/ math]

El teorema de unicidad de las transformadas de Fourier le dice que esto solo puede suceder cuando [math] (2 \ pi i \ tau + t) \ hat {y} (\ tau) = 0 [/ math]

Ingenuamente, hay dos formas de resolver esto, la primera es exigir que [matemática] (2 \ pi i \ tau + t) = 0 [/ matemática] y la segunda es exigir [matemática] \ hat {y} = 0 [/ matemáticas]. Ambos parecen extraños, el primero es una restricción tanto en t como en \ tau, lo cual está bien en principio, pero no te dice cómo resolver realmente la ecuación. La segunda solución parece aún más extraña, esto significaría que [math] y (t) = \ int \ hat {y} (\ tau) e ^ {2 \ pi i \ tau t} d \ tau = 0 [/ math]

En este momento necesita saber acerca de la existencia de la función delta de Dirac, nos permite darnos cuenta de que la solución general a [matemáticas] (2 \ pi i \ tau + t) \ hat {y} (\ tau) = 0 [/ math] es en realidad: [math] \ hat {y} (\ tau) = C \ delta (2 \ pi i \ tau + t). [/ math]

Puede conectar esto a la fórmula para que y obtenga:

[matemáticas] y (t) = \ int C \ delta (2 \ pi i \ tau + t) e ^ {2 \ pi i \ tau t} [/ matemáticas]

Las propiedades de la función delta le permiten calcular esto fácilmente para:

[matemáticas] y (t) = C e ^ {- t ^ 2} [/ matemáticas]

Debo haber cometido un error en alguna parte (probablemente en mi semi descuido con la función dirac), obviamente la solución debería ser [math] C e ^ {- t ^ 2/2} [/ math]. C será la constante que puede determinar con la condición de contorno.