La forma más directa es resolver la ecuación lineal para una de las variables y sustituirla. En su ejemplo, puede ver inmediatamente que [matemática] y = x [/ matemática] de la ecuación lineal, y por lo tanto [matemática] -y ^ 2 + y = 0 [/ matemática] en la primera, así [matemática] y (1-y) = 0 [/ math], por lo tanto, las dos soluciones son [math] (x = 0, y = 1), (x = 1, y = 1) [/ math] son las dos soluciones.
Geométricamente, un sistema como este, una ecuación cuadrática y una ecuación lineal, ambas en dos variables, está encontrando los puntos de intersección entre una sección cónica y una línea. Habrá 0, 1 o 2 soluciones. Resolver la ecuación lineal para una variable y sustituirla en la ecuación cuadrática le dará una ecuación cuadrática en 1 variable, que puede resolverse mediante varios métodos, incluida la fórmula cuadrática.
Si tiene más variables, una ecuación cuadrática en todas las variables y múltiples ecuaciones lineales, puede usar cada ecuación lineal a su vez para eliminar una variable hasta que tenga una ecuación cuadrática en una variable.
También puede hacer lo mismo con múltiples cuadráticos, ya que puede usar la fórmula cuadrática para resolver una variable. Esto es lo mismo que encontrar la intersección entre dos secciones cónicas, y puede haber hasta cuatro soluciones. Por ejemplo:
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[matemáticas] xy = 1 [/ matemáticas] (una hipérbola)
[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = 4 [/ matemáticas] (un círculo)
Resolviendo la segunda ecuación para x produce:
[matemáticas] x = \ pm \ sqrt (4 – y ^ 2) [/ matemáticas]
Al conectar eso a la primera ecuación se obtiene:
[matemáticas] \ pm y \ sqrt {4-y ^ 2} = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] y ^ 2 (4-y ^ 2) = 1 ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] 4y ^ 2 – (y ^ 2) ^ 2 = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] – (y ^ 2) ^ 2 + 4y ^ 2 – 1 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] y ^ 2 = \ frac {-4 \ pm \ sqrt {16 – 4 (-1) (- 1)}} {- 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] y ^ 2 = \ frac {-4 \ pm \ sqrt {12}} {- 2} = 2 \ pm \ sqrt {3} [/ matemáticas]
[matemáticas] y = \ pm \ sqrt {2 \ pm \ sqrt {3}} [/ matemáticas]
Como [math] 2 \ pm \ sqrt {3}> 0 [/ math], los cuatro valores y posibles son soluciones y no cero, por lo que todos los valores posibles de [math] x = 1 / y [/ math] son soluciones .