¿Qué es la causalidad? Vamos a plantearlo como un problema en el análisis de series de tiempo. Digamos que queremos describir la dinámica de un sistema donde un conjunto de variables
dominan, pero son impulsados, aparentemente estocásticamente, por algún otro conjunto de variables
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.
Por ejemplo,
podría representar una partícula flotando en un fluido viscoso
. A medida que la partícula se mueve, el fluido se relaja a su alrededor, dejando un rastro en descomposición lenta.
Entonces, aunque la partícula
parece moverse al azar, su posición en el tiempo
depende de ambos es toda la historia
y la historia de los alrededores locales
. Cuanto más viscoso o rígido es el líquido, más importa el entorno.
¿Cuándo podemos decir eso? causas ?
El desafío en la mecánica estadística es decidir cuándo la partícula es aleatoria (es decir, un movimiento browniano) y cuándo el fluido está afectando (es decir, causando) una parte de la dinámica.
Hay una revisión clásica de Problemas estocásticos en astronomía y física [1] por el difunto Subrahmanyan Chandrasekhar, Premio Nobel (Física, 1983) y ex jefe del departamento de física cuando era estudiante en la Universidad de Chicago.
Creo firmemente que cada científico debe estudiar y conocer los grandes trabajos de los premios Nobel, por lo que animo encarecidamente al lector a que profundice [1] por su cuenta, o al menos continúe leyendo.
Chandrasekhar presenta la ecuación de Langevin, y la usa para describir procesos estocásticos tales como Caminatas aleatorias y Caminatas de reversión a la media (que son importantes para la cointegración, pero no se discuten aquí)
Paseos al azar
Cuando nuestra partícula se comporta de manera aleatoria y no recuerda su historia, decimos que está experimentando una caminata aleatoria. Esto también se conoce como movimiento browniano. A continuación, trazamos el camino de varias caminatas aleatorias 1-D a lo largo del tiempo. Observe que todos comienzan en (0,0), pero, con el tiempo, eventualmente divergen entre sí.
El movimiento browniano es ubicuo; aparece en todas partes en la ciencia. En Finanzas y Economía, se describe como un Proceso Wiener o con el Cálculo Estocástico Ito. Sin embargo, si vamos a la vieja escuela, también podemos describir la caminata aleatoria usando algo familiar del cálculo / física de la escuela secundaria. El modelo es
la ecuación de Langevin:
dónde
es la masa
es un coeficiente de fricción, y
representa el ruido, interpretado como una fuerza aleatoria.
¿Que es esto? Todos sabemos, o hemos oído hablar de la famosa ecuación de Newton.
La fuerza es igual a la masa por la aceleración
Aquí, damos la vuelta a esto y tenemos
masa ( ) veces aceleración = Fuerza
= Fuerza de fricción ( ) menos Fuerza aleatoria ( )
dónde
la fuerza de fricción , es una velocidad de tiempos constantes
y
la fuerza al azar
se define a continuación
La fuerza aleatoria representa las interacciones de la partícula con el disolvente, que sufre las fluctuaciones térmicas aleatorias (que se muestran aquí).
No podemos describir la fuerza aleatoria con una ecuación dinámica, por lo tanto, definimos
a través de sus funciones de autocorrelación tiempo-tiempo
Esta función de correlación es un producto escalar en un espacio de Hilbert; de hecho es un kernel.
Aquí es una constante; a continuación definimos un ‘Kernel de memoria’ que describe lo que está causando el comportamiento aleatorio (y también trata los fracasos de la teoría en momentos cortos)
Difusión y la relación de Einstein:
La partícula
se mueve al azar; Decimos que se difunde. Identificamos una constante de difusión, que es solo el límite de la posición cuadrática media promedio, llevada a tiempos muy largos
Resulta que la fuerza aleatoria no es cualquier fuerza aleatoria; está íntimamente relacionado con los otros parámetros en la ecuación. Einstein señaló que la constante de fricción
está relacionado con la difusión
constante por
dónde
es la constante de Boltzman, y
es la temperatura
Con un poco de trabajo (no se muestra aquí), también podemos usar la relación de Einstein y nuestra definición de la fuerza aleatoria para expresar la constante de difusión en términos de la correlación temporal de la velocidad
, dónde
Esto significa que si las velocidades están débilmente correlacionadas (con el tiempo), el entorno arrastra la partícula y se difunde más lentamente. Por otro lado, cuando las velocidades están fuertemente correlacionadas, la partícula no siente el entorno y se difunde más rápido.
Debido a que la velocidad juega un papel tan importante, con frecuencia expresamos la ecuación de Langevin en términos de velocidad
También podemos expresar la función de autocorrelación velocidad-velocidad como una simple disminución exponencial
dónde
No es que nuestra teoría se descomponga en escalas de tiempo cortas porque esperamos que el proceso de velocidad sea un proceso estacionario. Es decir, esperamos
que claramente no está satisfecho.
En escalas de tiempo largas, la ecuación de Langevin describe un movimiento browniano matemático, pero en escalas de tiempo pequeñas, la ecuación de Langevin incluye efectos inerciales que no están presentes en la descripción browniana. Estos efectos inerciales pueden ser muy reales, como se muestra arriba en la imagen del polen en el fluido viscoso, y se corrigen a continuación.
Además, estamos considerando sistemas que realmente tienen velocidades; esto es importante ya que generalmente no pensamos que los procesos estocásticos puros, como las series de tiempo económicas o financieras, tengan una velocidad instantánea o bien definida.
Aún así, estamos en el camino correcto. Podemos relacionar las fuerzas aleatorias directamente con la difusión macroscópica
(en el espacio de velocidad) a través de la función de correlación de las fuerzas aleatorias
Entonces, podemos determinar qué tan fuertemente el entorno ‘causa’ la dinámica midiendo una función de auto-correlación de las fuerzas aleatorias
Comenzamos a ver el vínculo entre las funciones de correlación y la causalidad. Este es un ejemplo directo de
el teorema de fluctuación-disipación
<El teorema de fluctuación-disipación es un resultado general de la mecánica estadística que cuantifica la relación entre las fluctuaciones en un sistema en equilibrio y su respuesta a perturbaciones externas. Los ejemplos básicos incluyen el movimiento browniano y el ruido Johnson-Nyqvist, pero este fenómeno también surge en los sistemas de no equilibrio y, tal vez, incluso en la neocorteza.
Aquí, las mismas fuerzas aleatorias que causan el movimiento errático de una partícula también causan arrastre. Si algo tira de la partícula a través del fluido, siente este arrastre. Los movimientos aleatorios de la partícula y las fuerzas de fricción disipativas tienen el mismo origen o causa.
Podemos ver esto de 2 maneras diferentes:
- Podemos aplicar una fuerza externa al sistema y monitorear la respuesta (lineal)
- Podemos construir una distribución de velocidad de equilibrio y relacionar esto con la auto-difusión
De manera más general, podemos observar cualquier acción externa. que causa” moverse inferiendo la distribución de “equilibrio” y calculando la función de correlación apropiada de las fuerzas aleatorias; Este es nuestro vínculo con la causalidad.
Ver:
Causalidad, correlación y movimiento browniano