¿Cuántos valores de [matemática] x [/ matemática] ([matemática] x \ in \ mathbb {Z} [/ matemática]) hay tales que [matemática] (x ^ 2 – x – 1) ^ {x + 2 } = 1 [/ matemáticas]?

Answer 1

¿Cuántos valores de [matemática] x [/ matemática] ( [matemática] x \ in \ mathbb {Z} [/ matemática] ) hay tales que [matemática] (x ^ 2 – x – 1) ^ {x + 2 } = 1 [/ matemáticas] ?

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Hay 3 casos donde un poder se convierte en 1-

1.Cuando el exponente es 0. [matemática] x + 2 = 0 [/ matemática] [matemática] x = -2 [/ matemática]
Sin embargo, debe verificar que esto no sea la base 0, lo que nos daría valores indeterminados. (En este caso no lo hace).

2. Cuando la base es 1. [matemáticas] x ^ 2-x-1 = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2-x-2 = 0 [/ matemáticas]
Lo que da por la fórmula cuadrática
[matemáticas] x = -1,2 [/ matemáticas]

3. Cuando la base es -1 con un poder uniforme.
[matemáticas] x ^ 2-x-1 = -1 [/ matemáticas].
[matemáticas] x ^ 2-x = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] x (x-1) = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] x = 0,1 [/ matemáticas]

Asegurar potencias parciales comprobando el exponente, es decir:

[matemáticas] x + 2 = \ textrm {par} [/ matemáticas]
[matemáticas] 0 + 2 = 2 [/ matemáticas]. Entonces, 0 es una solución.
[matemáticas] 1 + 2 = 3 [/ matemáticas]. Entonces, 1 no es una solución.

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Entonces, las soluciones son-
[matemáticas] x = -2, -1,0,2 [/ matemáticas]
Por lo tanto, hay soluciones [math] \ boxed {4} [/ math].

Para confirmar,

Answer 2

Se puede usar FLT, a ^ (p-1) = 1 mod p

Sea (x + 2) = (p-1) y p = (x + 3) donde p es primo, también MCD [(x ^ 2-x-1), (x + 3)] = 1

Entonces (x ^ 2-x-1) ^ (x + 2) = 1 mod (x + 3).

P.ej . , sea x + 3 = 7, x + 2 = 6, x = 4, (x ^ 2-x-1) = 11

11 ^ 6 = 1 mod 7

Supongo que es cierto para todas las x donde x + 3 es un número primo

Por supuesto, es definitivamente cierto cuando x ¢ {-2, -1, 0, 2}

Answer 3

Obviamente, ya sea [matemáticas] x ^ {2} -x-1 = 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] x + 2 = 0 [/ matemáticas]

Este último produce directamente [matemáticas] x = -2 [/ matemáticas]

En el primer caso, obtenemos [matemáticas] x ^ {2} -x-2 = 0 [/ matemáticas]. Factorizando, esto nos da [matemática] (x + 1) (x-2) = 0 [/ matemática] y por lo tanto [matemática] x = -1, 2 [/ matemática]

Por lo tanto, hay 3 de esos valores.

Answer 4

[matemáticas] (x ^ 2-x-1) ^ {x + 2} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln ((x ^ 2-x-1) ^ {x + 2}) = \ ln (1) [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 2-x-1 \ geq0 \ implica (x + 2) \ ln (x ^ 2-x-1) = 0) \ land (x ^ 2-x-1 <0 \ implica (( x + 2) \ mod2 = 0 \ land x ^ 2-x-1 = -1)) [/ math]

[matemáticas] ((x \ geq \ frac {- (- 1) + \ sqrt {(- 1) ^ 2-4 (1) (- 1)}} {2 (1)} \ lor x \ leq \ frac {- (- 1) – \ sqrt {(- 1) ^ 2-4 (1) (- 1)}} {2 (1)}) \ implica (x + 2 = 0 \ lor \ ln (x ^ 2 -x-1) = 0)) \ lor ((x + 2) \ mod2 = 0 \ land x ^ 2-x-1 = -1) [/ math]

[matemáticas] ((x \ geq \ frac {1+ \ sqrt {1 + 4}} {2} \ lor x \ leq \ frac {1- \ sqrt {1 + 4}} {2}) \ implica (x = -2 \ lor x ^ 2-x-1 = e ^ 0)) \ lor (x \ mod2 = 0 \ land x ^ 2-x = 0) [/ math]

[matemáticas] ((x \ geq \ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ lor x \ leq \ frac {1- \ sqrt {5}} {2}) \ implica (x = -2 \ lor x ^ 2-x-1 = 1)) \ lor (x \ mod2 = 0 \ land x (x-1) = 0) [/ math]

[matemáticas] x = -2 \ lor ((x \ geq \ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ lor x \ leq \ frac {1- \ sqrt {5}} {2}) \ implica x ^ 2-x-2 = 0) \ lor (x \ mod2 = 0 \ land (x = 0 \ lor x-1 = 0)) [/ math]

[matemáticas] x = -2 \ lor ((x \ geq \ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ lor x \ leq \ frac {1- \ sqrt {5}} {2}) \ implica x = \ frac {- (- 1) \ pm \ sqrt {(- 1) ^ 2-4 (1) (- 2)}} {2 (1)}) \ lor x = 0 \ lor (x \ mod2 = 0 \ tierra x = 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] x = -2 \ lor ((x \ geq \ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ lor x \ leq \ frac {1- \ sqrt {5}} {2}) \ implica x = \ frac {1 \ pm \ sqrt {1 + 8}} {2}) \ lor x = 0 [/ math]

[matemáticas] x = -2 \ lor ((x \ geq \ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ lor x \ leq \ frac {1- \ sqrt {5}} {2}) \ implica x = \ frac {1 \ pm \ sqrt {9}} {2}) \ lor x = 0 [/ math]

[matemáticas] x = -2 \ lor ((x \ geq \ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ lor x \ leq \ frac {1- \ sqrt {5}} {2}) \ implica x = \ frac {1 \ pm3} {2}) \ lor x = 0 [/ math]

[matemáticas] x = -2 \ lor ((x \ geq \ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ lor x \ leq \ frac {1- \ sqrt {5}} {2}) \ implica (x = \ frac {1 + 3} {2} \ lor x = \ frac {1-3} {2})) \ lor x = 0 [/ math]

[matemáticas] x = -2 \ lor ((x \ geq \ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ lor x \ leq \ frac {1- \ sqrt {5}} {2}) \ implica (x = \ frac {4} {2} \ lor x = \ frac {-2} {2})) \ lor x = 0 [/ math]

[matemáticas] x = -2 \ lor ((x \ geq \ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ lor x \ leq \ frac {1- \ sqrt {5}} {2}) \ implica (x = 2 \ lor x = -1)) \ lor x = 0 [/ math]

[matemáticas] x = -2 \ lor x = 2 \ lor x = -1 \ lor x = 0 [/ matemáticas]

Hay [matemática] 4 [/ matemática] valores posibles de [matemática] x [/ matemática].

Answer 5

-2, -1,2
Sabemos que, (1) ^ cualquier cosa es 1 . Por lo tanto, igualamos lo mejor a 1, obtenemos,
-> x ^ 2-x-1 = 1
-> x ^ 2-x-2 = 0
Al simplificar,
(x-2) (x + 1) = 0
Obtenemos raíces como 2, -1.
Y también, a ^ 0 = 1 . Entonces, igualamos el poder a 0, obtenemos,
-> x + 2 = 0
-> x = -2
Por lo tanto, tenemos raíces como -2, -1,2.

Answer 6

Tome la raíz (x + 2) a ambos lados de la ecuación

(x ^ 2-x-1) = 1

x ^ 2-x = 2

x ^ 2-x-2 = 0

x ^ 2–2x + x-2 = 0

x (x-2) +1 (x-2) = o

(x-2) (x + 1) = 0

entonces, x = 2 o x = -1

Hecho.