Probabilidad (estadísticas): ¿Cómo se prueba E (E (Y | X)) = E (Y) y E (Var (Y | X)) + Var (E (Y | X)) = Var (Y)

Answer 1

La expectativa condicional es difícil de trabajar en el caso más general. Aquí hay un enlace a la prueba en el caso general, pero puede no ser tan informativo si no está familiarizado con la teoría de la medida. Ley de expectativa total

Le daré una “prueba” en el caso especial de X e Y continuas conjuntamente (aunque hay algunos problemas técnicos incluso con este enfoque que se discuten aquí en la paradoja de Borel-Kolmogorov). Esto al menos motiva la idea, pero la prueba rigurosa requiere una discusión sobre el teorema de Radón-Nikodym, que es más profundo de lo que quiero profundizar.

Supongamos que si [matemáticas] E (Y | X = x) = g (x) [/ matemáticas] entonces [matemáticas] E (Y | X) = g (X) = (g \ circ X) [/ matemáticas ] Entonces:

[matemáticas] E (E (Y | X)) = \ int_ {x = – \ infty} ^ \ infty g (x) f_X (x) dx [/ math]

A continuación, observamos que:

[matemáticas] g (x) = \ int_ {y = – \ infty} ^ {\ infty} y f_ {Y | X} (y | x) dy [/ math]

Utilizamos la definición de la densidad condicional para dar:

[matemáticas] g (x) = \ int_ {y = – \ infty} ^ {\ infty} y \ frac {f (x, y)} {f_X (x)} dy [/ math]

Al sustituir este resultado en nuestra primera integral, obtenemos:

[matemáticas] E (E (Y | X)) = \ int_ {x = – \ infty} ^ \ infty [/ matemáticas] [matemáticas] \ int_ {y = – \ infty} ^ {\ infty} y \ frac { f (x, y)} {f_X (x)} dy [/ math] [math] f_X (x) dx [/ math]

La manipulación de las integrales (que puede justificarse utilizando el teorema de Fubini-Tonelli da:

[matemáticas] E (E (Y | X)) = \ int_ {x = – \ infty} ^ \ infty [/ matemáticas] [matemáticas] \ int_ {y = – \ infty} ^ {\ infty} yf (x, y) dy [/ math] [math] dx [/ math]

Reconocemos la integral doble como exactamente la definición de [matemática] E (Y) [/ matemática] para variables aleatorias conjuntas continuas.

La prueba de la varianza condicional se puede encontrar aquí Prueba.