Cómo factorizar ecuaciones cúbicas

Ah, finalmente una pregunta sin otras respuestas. Lo contestaré.

Personalmente, no sé cómo resolver una ecuación cúbica directamente.

Hay una fórmula cúbica compleja, pero es demasiado compleja como para memorizarla fácilmente. Y luego está el método de división larga, pero eso resulta en un proceso aún más tedioso.

Sin embargo, hay otra manera fácil de resolver la ecuación cúbica.

Una ecuación cúbica se puede convertir fácilmente en una ecuación cuadrática y una ecuación lineal.

Por ejemplo, x ^ 3 – 7x – 6 = 0 se puede convertir en (x + 1) (x ^ 2 + ax + b).

¿Cómo obtuve ese 1? Tienes que conseguirlo mediante prueba y error.

Intente poner 0, 1, -1, … en la ecuación cúbica original, digamos que -1 da como resultado que la ecuación se convierta en 0. Por lo tanto, (x + 1) es un factor de la ecuación cúbica.

Luego pondremos x + 1 en otra ecuación:

(x + 1) (ax ^ 2 + bx + c) = 0. Comparándolo con la ecuación original,

x ^ 3 – 7x – 6 = 0

Entonces, la única multiplicación que resulta en x ^ 3, es cuando x se multiplica por ax ^ 2, por lo tanto a es 1.

Y el que obtiene la constante es cuando 1 xc, por lo tanto, c es 6.

Por último, la única multiplicación que obtiene x ^ 2 es bx ^ 2 + ax ^ 2, por lo tanto b es -1

(x + 1) (x ^ 2 – x – 6).

Después de obtener la ecuación cuadrática, la factorizamos y obtenemos las tres soluciones finales.

(x + 1) (x – 3) (x + 2) = 0.

Lo entiendo, entender que esto no es una hazaña tan fácil. No fue para mí, al menos.

Para avanzar en este concepto, intente ver este video:

No tengo afiliación con el canal.

¡Responde con cualquier pregunta que tengas!

Puedes usar el Método de Cardano, o puedes usar la rima de Tartaglia:

Poema de Tartaglia

Cuando el cubo y sus cosas se acercan

Agregar a un nuevo número, discreto,

Determine dos nuevos números diferentes

Por ese; esta hazaña

Se mantendrá como regla

Su producto siempre igual, igual,

Al cubo de un tercio Del número de cosas nombradas.

Entonces, hablando en general,

La cantidad restante

De las raíces cúbicas restadas

Será nuestro recuento deseado.

Supongo que está pidiendo factorizar el lado izquierdo de una ecuación de la forma

[matemáticas] ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0. [/ matemáticas]

La respuesta es que depende de si desea reducir su polinomio cúbico sobre [math] \ mathbb {Q} [/ math], sobre [math] \ mathbb {R} [/ math] o sobre [math] \ mathbb { C} [/ matemáticas].

Si desea factorizar sobre [math] \ mathbb {Q} [/ math], puede utilizar el teorema del Factor, junto con el hecho de que las únicas soluciones racionales de la ecuación anterior son de la forma [math] \ frac {p} {q} [/ math], donde [math] p [/ math] es un factor de [math] d [/ math] y [math] q [/ math] es un factor de [math] a [ /matemáticas]. Si ninguno de estos números racionales satisface la ecuación anterior, entonces la expresión cúbica en el LHS es irreducible sobre [math] \ mathbb {Q} [/ math]; de lo contrario, factorice el factor lineal [math] (qx – p) [/ math], use la división polinomial e intente factorizar el cuadrático resultante usando esta misma técnica.

Si desea factorizar sobre [math] \ mathbb {C} [/ math], puede usar la fórmula cúbica ilustrada en el enlace. Puede usar la misma fórmula para factorizar sobre [math] \ mathbb {R} [/ math], excepto que si obtiene raíces complejas, deberá multiplicar sus factores lineales nuevamente.

Ejemplo detallado:

[matemáticas] 2x ^ 3 + 9x ^ 2-13x + 4 [/ matemáticas]

Las posibles soluciones racionales de la ecuación [matemáticas] 2x ^ 3 + 9x ^ 2-13x + 4 = 0 [/ matemáticas] son ​​[matemáticas] \ pm 1, \ pm 2, \ pm 4 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ pm \ frac {1} {2} [/ matemáticas]. Dado que [matemáticas] \ frac {1} {2} [/ matemáticas] es una solución [matemáticas] (2 (\ frac {1} {2}) ^ 3 + 9 (\ frac {1} {2}) ^ 2 -13 (\ frac {1} {2}) + 4 = 0) [/ math], factorizamos [math] (2x-1) [/ math] y dividimos, obteniendo [math] 2x ^ 3 + 9x ^ 2-13x + 4 = (2x-1) (x ^ 2 + 5x-4) [/ matemáticas]. Repetimos el proceso para la cuadrática resultante [matemática] x ^ 2-5x + 4 [/ matemática], que, sin embargo, es irreducible sobre [matemática] \ matemática {Q} [/ matemática]. Entonces, sobre [math] \ mathbb {Q} [/ math], la función cúbica [math] 2x ^ 3 + 9x ^ 2-13x + 4 [/ math] se factoriza a [math] (2x-1) (x ^ 2 + 5x-4) [/ matemáticas].

Sin embargo, en [math] \ mathbb {R} [/ math], la [math] x ^ 2 + 5x-4 [/ math] cuadrática se factoriza en [math] \ left (x + \ frac {5- \ sqrt {41 }} {2} \ right) \ left (x + \ frac {5+ \ sqrt {41}} {2} \ right) [/ math], entonces [math] 2x ^ 3 + 9x ^ 2-13x + 4 [ / math] factoriza a [math] (2x-1) \ left (x + \ frac {5- \ sqrt {41}} {2} \ right) \ left (x + \ frac {5+ \ sqrt {41}} { 2} \ right) [/ math] sobre [math] \ mathbb {R} [/ math] (y sobre [math] \ mathbb {C} [/ math]).

Ejemplo rápido:

[matemáticas] x ^ 3 + 3x [/ matemáticas]

Este factor cúbico se factoriza en [math] x (x ^ 2 + 3) [/ math] sobre [math] \ mathbb {Q} [/ math] y sobre [math] \ mathbb {R} [/ math], pero se factoriza en [math] x (x + i \ sqrt {3}) (xi \ sqrt {3}) [/ math] sobre [math] \ mathbb {C} [/ math].

Factorizar una ecuación no tiene sentido. ¿Te refieres a una expresión cúbica?

En una variable?

Hacha ^ 3 + Bx ^ 2 + Cx + D

En general, puede encontrar los ceros con la fórmula cúbica y usarlos para factorizar.

Para los cúbicos específicos, es posible que desee utilizar otros métodos para encontrar los ceros: gráficos, reducción por división, etc.

Si encuentra los tres ceros {a, b, c} los factores de expresión como

(xa) (xb) (xc)