¿Por qué las ecuaciones diferenciales parciales son difíciles de resolver?

Answer 1

Solo un pequeño complemento a la respuesta completa anterior.

Menos intuición técnica: primero pregunte, ¿qué es realmente, “una solución” de DE? Es una función con el tiempo como parámetro principal (t), que devuelve información del estado del sistema. Teniendo eso, puede obtener el estado del sistema desde cualquier momento, el futuro, ya sea pasado, no importa. Es como una máquina del tiempo.

Por otro lado, las ecuaciones diferenciales describen lo que es AHORA, es decir, los cambios incrementales que dependen de otros cambios. Si tiene información de estado actual, puede “reproducir” el sistema numéricamente en el tiempo, momento tras momento. Tenga en cuenta que, en este sentido, no necesita una solución analítica, ya que DE escrito con condiciones bien dadas, ya es una “solución”, una información suficiente sobre el comportamiento del sistema.

Al aspirar a obtener una solución analítica de DE, aspira a un estado de Oracle, queriendo saber todo en cualquier lugar en cualquier momento, de inmediato. Realmente está pidiendo mucho, de hecho. Por ejemplo, la naturaleza con todo su poder computacional, generalmente no usa una solución analítica de estados propios, sino que opera usando DEs – sin atajos en el tiempo, jugando las cosas momento a momento.

La solución analítica y la forma DE / integral son dos formas de comprender el comportamiento del sistema, ya sea para comprenderlo o controlarlo. Para las formas de solución, el lenguaje en sí es actualmente, con cálculos sobrecargados pero torpes, demasiado rígido y rígido para expresar la naturaleza dinámica (que significa: rápida, multiproceso, desconcertante, entrelazada) de las cosas. Los DE lo hacen fácilmente, y para usarlos como “solución”, el nivel de requisitos matemáticos cae significativamente. A menudo no es más que simple aritmética (ejecutada muchas, muchas veces).

Answer 2

Hay varias razones, pero tal vez la más fundamental es simplemente la “tasa” a la que aumenta la complejidad potencial a medida que uno introduce más variables independientes en el modelo: a diferencia de las EDO, donde solo una cantidad puede “salir mal” (y para lo cual Hemos trazado en gran medida qué puede salir mal y qué es necesario para lidiar con eso, incluso si tales necesidades aún no son técnicamente alcanzables) para PDE, con cada una de las nuevas variables independientes que agregamos, agregamos simultáneamente tanto otro grado de libertad _y_ (al menos) una restricción más: la complejidad potencial de la solución se dispara con cada nuevo ind. var. Para describir solo un ejemplo, considere la diferencia entre un problema de valor límite de ODE (BVP) y dos ind. var. PDE BVP, es decir, un problema análogo, con solo un ind más. var. Para el ODE BVP, todo lo que necesitamos especificar (en general) para arreglar una solución única (en principio) es el valor de la solución en un punto por orden del ODE. Por otro lado, para el problema análogo de PDE, para lograr el mismo “nivel de solución”, necesitamos especificar el valor de la solución (o alguna función de la misma y / o sus derivadas parciales) sobre una curva completa, por grado de PDE! (Así, por ejemplo, un PDE de segundo orden en 2-D requiere la especificación de la solución sobre alguna curva y (alguna función de) las derivadas parciales de la solución sobre otra curva, posiblemente pero no necesariamente la misma). Ahora, en el superficie, la reacción de uno podría ser: “bueno, eso es espléndido, realmente, porque esa es una cantidad infinita de más datos que podemos usar para tratar de encontrar la solución”. Pero lo que supera significativamente es la variedad infinitamente mayor de datos que se nos podría pedir que contemplemos: conceptualmente, y en la práctica, es mucho, MUCHO, más difícil encontrar una solución para unir todos los datos a lo largo de una curva arbitraria de lo que es hacer coincidir los datos. datos en un solo punto! Y para un PDE 3-D, uno necesita hacer coincidir los datos sobre una superficie completa, para un 4-D, a lo largo de un volumen completo de 3, etc. Simplemente se “descontrola”, incluso para números “pequeños” de Indiana. vars. Es por eso que, en un curso introductorio de ODE, uno puede prescindir fácilmente de “casos especiales” bastante generales (una vez que los patrones se aclaran) y pasar a problemas realmente generales; mientras que en un curso introductorio de PDE, puede ser lo máximo que podemos hacer para enseñar simplemente cómo encontrar soluciones a los PDE más comúnmente encontrados sujetos a BC en solo los límites más simples. (No se puede exagerar este problema de la complejidad potencial de los límites y cómo complica tanto la solución como nuestros medios para encontrarla: podría decirse que es el mayor obstáculo para lograr resultados para PDE de una generalidad análoga a la que se ha logrado para ODE’s.)