Gracias por el A2A, Joshua. El centro de la hipérbola está en la intersección de sus dos ejes de simetría, que ocurre en el punto medio [matemática] C [/ matemática] de los dos focos: [matemática] C = (0, (-7 + 13) / 2) = (0, 3) [/ matemáticas]. Los ejes de simetría son, por lo tanto, la línea vertical [matemática] x = 0 [/ matemática] y la línea horizontal [matemática] y = 3 [/ matemática]. El eje de simetría que contiene los dos focos y los vértices se llama eje transversal, que en este caso es el eje vertical [matemática] x = 0 [/ matemática] (el eje [matemática] y [/ matemática]). La forma general de la ecuación hasta ahora es así
[matemáticas] \ begin {align *} \ frac {(y-3) ^ 2} {a ^ 2} – \ frac {x ^ 2} {b ^ 2} = 1. \ end {align *} [/ math ]
La distancia de enfoque [matemática] (0,13) [/ matemática] o [matemática] (0, -7) [/ matemática], desde el centro [matemática] (0, 3) [/ matemática] es [ matemática] c = 10 [/ matemática] unidades a lo largo del eje transversal [matemática] y [/ matemática], mientras que los vértices están a una distancia (matemática hasta ahora desconocida) [matemática] a <c [/ matemática] desde este centro eje. Las asíntotas son las líneas rectas determinadas resolviendo la ecuación de la hipérbola para [math] y [/ math] y observando el gran comportamiento [math] | x | [/ math] del resultado. Usted encontrará fácilmente
[matemáticas] \ begin {align *} y = 3 \ pm a \, \ sqrt {\, \ frac {x ^ 2} {b ^ 2} + 1 \,} \, \ approx \, 3 \ pm \ left (\ frac {a} {b} \ right) x \, = \, \ pm \ left (\ frac {a} {b} \ right) x + 3, \ end {align *} [/ math]
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ya que [math] 1 [/ math] puede ignorarse bajo la raíz cuadrada para [math] | x | [/ math] grande (satisfaciendo [math] | \ frac {x} {b} | >> 1 [/ math] ) Al comparar esta expresión general con las asíntotas dadas para este problema, verá que [math] a / b = 3/4 [/ math], por lo tanto, [math] b = (4/3) a [/ math]. Las constantes [matemáticas] a, b [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas] están relacionadas por [matemáticas] c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas], y usted sabe que [matemáticas ] c = 10 [/ matemáticas], [matemáticas] b = (4/3) a [/ matemáticas], entonces
[matemáticas] \ begin {align *} 10 ^ 2 = a ^ 2 + 16a ^ 2/9 = 25a ^ 2/9, \ end {align *} [/ math]
de las cuales [matemáticas] a ^ 2 = 900/25 = 36 [/ matemáticas]. Entonces [math] b ^ 2 = (16/9) 36 = 64 [/ math], y la ecuación final después de sustituir [math] a ^ 2 [/ math] y [math] b ^ 2 [/ math] es
[matemáticas] \ begin {align *} \ frac {(y-3) ^ 2} {36} – \ frac {x ^ 2} {64} = 1. \ end {align *} [/ math]