¿Cómo se vieron / resolvieron las ecuaciones cuadráticas antes de que se inventara el cero? Educación te da un futuro mejor

Me gustaría agregar algunas cosas a la respuesta de David Joyce (es decir, métodos de solución). Lo que dice es indudablemente cierto, pero cuando dijo que usaban geometría para describir las soluciones, comencé a pensar un poco más.

Estamos tan acostumbrados a usar simplemente el álgebra necesaria para llegar a soluciones de estas ecuaciones, que a menudo olvidamos de dónde viene todo esto. Creo que todos han memorizado la fórmula para la solución de una ecuación cuadrática como

[matemáticas] x_ {1,2} = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ {2} -4ac}} {2a} [/ matemáticas]

para una ecuación de la forma [math] ax ^ {2} + bx + c = 0 [/ math]. Ahora, como lo dijo el profesor David Joyce, esta no era la forma en que lo usaban al principio. Por lo tanto, he estado pensando en soluciones a estas ecuaciones en forma de cuadrados y rectángulos.

Pude encontrar soluciones para casi todas las ecuaciones, pero luego encontré algunas excelentes notas de clase en línea que describen exactamente lo que encontré y más. Se pueden encontrar en “Cuerpo” (haga clic en la palabra Cuerpo para ir allí). La solución a las ecuaciones cuadráticas se puede encontrar en la sección 3. Como la explicación es bastante breve, explicaré con más detalle aquí, pero todo el crédito por las imágenes es para el profesor David W. Henderson en la Universidad de Cornell, quien escribió las notas de la conferencia que vinculé a. Así que, aquí vamos:

En primer lugar, hay un caso que fue olvidado por el profesor Joyce, que técnicamente también es una ecuación cuadrática, ya sea trivial:

[matemáticas] x = c [/ matemáticas]

El siguiente caso trivial es

[matemáticas] x ^ {2} = bx [/ matemáticas]

que tiene una solución clara de [matemáticas] x = b [/ matemáticas]. El siguiente caso también es bastante fácil, a saber

[matemáticas] x ^ {2} = c [/ matemáticas]

La respuesta a esta ecuación podría buscarse en tablas. También hay algoritmos que proporcionan una solución para tomar un cuadrado. Esto se proporciona en la sección 2 del enlace que puse arriba (muy interesante de leer). Asumamos así que tenemos conocimiento de tomar una raíz cuadrada. Ahora llegamos a los casos más interesantes. Caso 1:

[matemáticas] x ^ {2} + bx = c [/ matemáticas]

La solución se puede representar mirando la siguiente imagen:

Déjame explicarte lo que sucede aquí. El lado izquierdo es solo la ecuación tal como la conoce. El siguiente es una representación de este lado izquierdo en términos de cuadrados y rectángulos. Puede ver claramente que un rectángulo de área [matemática] bx [/ matemática] puede ajustarse a un cuadrado de área [matemática] x ^ {2} [/ matemática]. Si reajustamos este dibujo, podemos dividir el rectángulo del área [matemática] bx [/ matemática] exactamente por la mitad y unir una de cada una de las partes que obtenemos a un lado del cuadrado. Si lo hacemos, obtenemos una forma de L. Esta forma de L debe ser igual en área a [math] c [/ math] Ahora completemos la forma de L haciéndola un cuadrado completo (la línea de puntos). Si lo hacemos, también debemos agregar este pequeño cuadrado agregado al lado derecho de la ecuación. Lo que obtenemos ahora si leemos ambos lados de la ecuación es:

[matemáticas] \ izquierda (x + \ frac {b} {2} \ derecha) ^ {2} = c + \ frac {b ^ {2}} {4} [/ matemáticas]

Como sabemos cómo sacar raíces cuadradas y restar y sumar valores, esta ecuación nos proporcionará la solución positiva de la ecuación. Si hay dos posibles soluciones positivas, esto seleccionará la más grande de ellas.

El siguiente es el caso

[matemáticas] x ^ {2} = bx + c [/ matemáticas]

Este se puede resolver mirando la siguiente imagen:

Esta es bastante difícil de describir, ya que las notas de clase omiten algunos pasos intermedios. Proporcionaré un dibujo adicional por lo tanto. Primero mira la imagen de arriba. Puede ver fácilmente que esto describe la ecuación representada. Un cuadrado de área [matemática] x ^ {2} [/ matemática] es igual a un rectángulo de área [matemática] bx [/ matemática] con algún espacio adicional en la forma de un rectángulo que tiene área [matemática] c [/ matemática ] De esta imagen, lo único que realmente sabemos es el área [matemáticas] c [/ matemáticas] y la longitud [matemáticas] b [/ matemáticas]. Como no sabemos cómo las longitudes del rectángulo que conforman un área de escala [matemática] c [/ matemática], realmente no podemos hacer nada con esta constante. Por lo tanto, echamos un vistazo a [math] b [/ math]. Podemos dividir esto en dos mitades iguales. Hagamos esto En una imagen esto da:

donde la línea roja es la que divide [matemática] b [/ matemática] en 2. Puedes ver que dos de los rectángulos verdes junto con el blanco forman el área de [matemática] c [/ matemática]. Las líneas que ves en todas partes se explican ahora.

El siguiente paso es agregar otra capa a la imagen. Tomamos lo que tenemos, lo giramos noventa grados y lo ponemos encima. Esto es posible solo porque estamos trabajando con un cuadrado. Luego obtenemos el dibujo completo representado arriba. En este dibujo, todos los rectángulos con el mismo color tienen la misma área. Por lo tanto, hay cuatro cuadrados con área [matemática] \ frac {b ^ {2}} {4} [/ matemática] y cuatro rectángulos verdes con un área determinada por el valor de [matemática] x [/ matemática]. Lo que es importante recordar acerca de las áreas verdes es que dos de ellas, junto con la blanca, suman un área total de [matemáticas] c [/ matemáticas]. Así que veamos ahora la esquina inferior derecha de mi dibujo. Si tomamos un cuadrado rosa, dos rectángulos verdes y el cuadrado blanco delimitado por las líneas rojas, y cambiamos un poco esta parte, llegamos a la segunda imagen que se mostró antes.

Sin embargo, continuaré explicando con mi foto. Como puede ver en la parte inferior derecha, tenemos un cuadrado de área [matemática] \ izquierda (x- \ frac {b} {2} \ derecha) ^ {2} [/ matemática]. Si sumamos lo que está dentro del cuadrado, obtenemos una igualdad a partir de la cual podemos resolver [matemáticas] x [/ matemáticas]. En el cuadrado, encontramos un cuadrado rosa con un área de [matemáticas] \ frac {b ^ {2}} {4} [/ matemáticas] y dos rectángulos verdes y un cuadrado blanco. Recuerde que dije que esto era exactamente igual a un área de [matemáticas] c [/ matemáticas]. Así obtenemos:

[matemática] \ izquierda (x- \ frac {b} {2} \ derecha) ^ {2} = c + \ frac {b ^ {2}} {4} [/ matemática]

Esta es exactamente la ecuación que obtuvimos la vez anterior también. Por lo tanto, podemos resolver para x.

Entonces hay un último caso:

[matemáticas] x ^ {2} + c = bx [/ matemáticas]

Esto se dejará como un ejercicio para el lector. Proporcionaré los dibujos necesarios aún debajo, así como la sugerencia que debe considerar ahora en dos casos:

[matemáticas] x <\ frac {b} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] x> \ frac {b} {2} [/ matemáticas]

Si no tiene ganas de buscar o si desea verificar su solución, puede buscar la respuesta en el sitio web que proporcioné.

Imágenes

Caso 1:

Caso 2: