¿Es correcta esta ecuación? [Matemáticas] \ displaystyle \ int ^ {\ infty} _ {- \ infty} \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} f_ {n} \ left (x \ right) dx = \ lim _ { n \ rightarrow \ infty} \ int ^ {\ infty} _ {- \ infty} f_ {n} \ left (x \ right) dx [/ math]

Answer 1

Este no es siempre el caso. Considere las funciones definidas por

[math] f_n (x) = n [/ math] if [math] x \ in [- \ frac {1} {2n}, \ frac {1} {2n}] [/ math], y

[matemáticas] f_n (x) = 0 [/ matemáticas] de lo contrario.

Claramente,

[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} f_n (x) dx = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} 0 dx = 0 [/ math] , pero

[matemáticas] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f_n (x) dx = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} 1 = 1 [/ math].

Otro ejemplo serían las funciones.

[math] g_n (x) = \ frac {1} {2n} [/ math] if [math] x \ in [-n, n] [/ math], y

[matemáticas] g_n (x) = 0 [/ matemáticas] de lo contrario.

Para este ejemplo tenemos

[matemáticas] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g_n (x) dx = 1 \ neq 0 = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ lim_ { n \ rightarrow \ infty} g_n (x) dx [/ math].

Para poder intercambiar el orden de dos límites (una integral se puede escribir como un límite) necesita usar algo como el teorema de convergencia dominada o el teorema de convergencia monótono.

Answer 2

Agregando a John Lang y otras buenas respuestas, aquí hay una manera diferente de entender esto y TODOS los problemas relacionados.
La pregunta que MCT / DCT (Teorema de convergencia dominada) intenta responder es la siguiente:
En una expresión con doble suma [matemática] \ sum_ {i} \ sum_ {j} a_ {i, j} [/ matemática], ¿podemos intercambiar el orden de la sumatoria?
es decir. Podemos decir
[matemáticas] \ sum_ {i} \ sum_ {j} a_ {i, j} = \ sum_ {j} \ sum_ {i} a_ {i, j}? [/matemáticas]

Todas las variantes de MCT / DCT se pueden reducir a esto.

Resulta (por estos teoremas) que cualquiera de las siguientes dos condiciones es suficiente:
(1) [math] a [/ math] ‘s son todos positivos
(2) [matemáticas] \ sum_ {i} \ sum_ {j} | a_ {i, j} | <\ infty [/ math]

[Demuestre esto usted mismo. intenta obtener una buena intuición pensando en sumas parciales]

Ahora, ¿cómo pasas de la suma doble al límite de la integral?

(1) la integral es solo suma limitante, así que aproximadamente, solo suma
(2) [matemáticas] \ lim a_n = (a_1) + (a_2 – a_1) + (a_3 – a_2) +… [/ matemáticas] también es una suma.

Estas dos declaraciones se pueden usar para transformar el límite de integral a suma doble para obtener las condiciones necesarias cuando se pueden intercambiar límites e integrales.
Más importante aún, este truco se puede usar para responder muchas variantes de tales preguntas reduciéndolo intuitivamente a sumas.

Una vez que se sienta cómodo con esto, puede pensar en estos problemas como una conmutación de operadores lineales (suma, integrales, límites, derivadas entre ejemplos).

Answer 3

John Lang ya ha dado una buena respuesta, pero quería aclarar que imponer la continuidad no solucionaría el problema. De hecho, podemos pedir que nuestras funciones sean fluidas, y aún podemos encontrar un contraejemplo.

He aquí cómo: let [math] f_n (x) = \ frac {1} {n \ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- \ frac {x ^ 2} {2n ^ 2}} [/ math]. Esta es una distribución gaussiana centrada en cero, y como [math] n \ rightarrow \ infty [/ math], esta distribución se aplana más y más. Como resultado, [math] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} f_n (x) = 0 [/ math].

Por otro lado, el área bajo cualquier distribución gaussiana debe ser 1. Y por lo tanto, vemos que:

[matemáticas] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty f_n (x) \ dx = 1 [/ math]
[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} f_n (x) \ dx = 0 [/ math]

El problema, básicamente, es que tienes un área que está “escapando al infinito”. La forma de solucionar esto es vincular todas sus funciones con alguna función integrable, que evite las “fugas”. Esta es la esencia del teorema de convergencia dominada.

Answer 4

No, asegúrese de que la enésima derivada esté integrada con respecto a x y luego el límite se aplica a la resultante para n enfoques infinito yn enfoques infinito respectivamente. como Fn-1 (infinito) y Fn-1 (infinito) no están definidos.
Pero si el límite ya se aplica antes de la integración, entonces no habría ninguna lógica, ya que esta función aún no estaría definida.

Corrígeme si estoy equivocado ! Las respuestas serán apreciadas.
Educación para todos, todos para la educación.

Answer 5

Esto es cierto dado que la secuencia de funciones satisface el teorema de convergencia dominada.

Answer 6

Esto es lo que desea leer: Teorema de convergencia dominada

Answer 7

Eso depende mucho de la naturaleza de fn (x).

La integración ya es un límite, por lo que se pregunta si los límites conmutan. A veces lo hacen!