Cómo encontrar un punto que sea equidistante de otros tres puntos usando la ecuación directa

El punto en un plano equidistante de 3 puntos no colineales * se llama circunferencia circunscrita.

Aquí hay una solución usando la fórmula de la distancia.

Dado que nuestro punto requerido [matemática] (x, y) [/ matemática] es equidistante de [matemática] (x_1, y_1) [/ matemática] y [matemática] (x_2, y_2) [/ matemática] aplicamos la fórmula de distancia que iguala las distancias de cada punto desde [matemáticas] (x, y) [/ matemáticas].
Cuadra ambos lados y simplifica. Terminarás con la ecuación de una línea **.

Repita el proceso anterior con [math] (x_2, y_2) [/ math] y [math] (x_3, y_3) [/ math] para obtener otra línea.

Resuelva las ecuaciones de 2 líneas simultáneamente para obtener la posición del círculo circunferencial i, e. [matemáticas] (x, y) [/ matemáticas].

* Colinear significa mentir a lo largo de una línea común.

** Esta línea es la bisectriz perpendicular de los 2 puntos dados, hay formas más fáciles de encontrar su ecuación, pero quería restringir esta respuesta a usar solo la fórmula de la distancia.

Este será el circuncentro del triángulo, dado que tienes un triángulo. Ver Círculo circunscrito para la fórmula exacta.

Si están en una línea, entonces no existe tal punto, a menos que dos puntos sean iguales.