La ecuación que escribe generalmente se llama ecuación de “advección” en lugar de ecuación de onda unidimensional. Pero está bien, sigue siendo una ecuación hiperbólica y puede usarse para ilustrar lo que eso significa.
La ecuación de onda unidimensional sería de segundo orden en derivadas de tiempo y espacio:
[matemáticas] u_ {tt} + c ^ 2 u_ {xx} = 0 [/ matemáticas].
Lo importante para recordar acerca de una ecuación diferencial parcial hiperbólica es que el problema del valor inicial para dicha ecuación diferencial, lo suficientemente cerca de algún punto P, es un problema bien planteado, para los datos iniciales arbitrarios que se dan a lo largo de un trazado de superficie no característico a través del punto P. Para una ecuación diferencial parcial de primer orden, los datos iniciales solo significan los valores de la función en la superficie inicial.
La solución del problema del valor inicial para una ecuación hiperbólica cerca de un punto P será simplemente una unión de soluciones a lo largo de las superficies características. Las superficies características son espacios de dimensiones inferiores que se ubican en el espacio de variables independientes de la ecuación. Aquí ese espacio es bidimensional: [matemáticas] (t, x) [/ matemáticas].
Primero, encontrará las superficies características para la ecuación diferencial en su caso, que es:
[matemáticas] u_ {t} + c u_ {x} = 0 [/ matemáticas].
Para esta ecuación o para la ecuación de onda, si de alguna manera ya tenía una solución de la ecuación, por supuesto, podría escribir esta solución, formalmente, como [math] u = u (x, t) [/ math], donde [math ] u [/ math] es alguna función real de las variables [math] (t, x) [/ math].
Esto se puede utilizar para definir el gráfico de una solución de la ecuación, a través de [matemáticas] F (x, y, z) = u (t, x) -z = 0 [/ matemáticas], que define un mapa a partir de los dos espacio dimensional de variables independientes [matemáticas] (t, x) [/ matemáticas] a un espacio tridimensional [matemáticas] (t, x, z) [/ matemáticas].
Entonces, el gráfico de una solución a la ecuación es una superficie bidimensional que se encuentra en un espacio tridimensional, solo una dimensión más alta que el número de variables independientes, ya que solo hay una variable dependiente en la ecuación. Un vector que es normal al gráfico de una solución se puede escribir como:
[matemáticas] N = \ nabla F = (u_ {t} (t, x), u_ {x} (t, x), -1) [/ matemáticas].
Ahora, si observa este vector por un momento, verá que un vector que es tangente a la gráfica, es decir, que es perpendicular al vector normal a la gráfica en un punto, está dado por [matemática] T = (1, c, 0) [/ matemáticas]. Esto es obvio, porque los dos primeros componentes de este vector son solo los coeficientes de la ecuación diferencial original. Entonces, tomando el producto punto, [math] T \ cdot N [/ math], obtendrás cero.
Por lo tanto, resolver la ecuación diferencial parcial se puede reducir a encontrar un campo vectorial que esté en todas partes tangente a la gráfica. Este campo vectorial en el caso general tendrá curvas integrales, que se determinan integrando la ecuación comenzando a lo largo de los vectores tangentes. Las curvas integrales, proyectadas en el plano [matemático] (t, x) [/ matemático], se denominan superficies características de la ecuación diferencial.
El espacio de variables independientes aquí es bidimensional, por lo que las superficies características aquí solo estarán dadas por curvas unidimensionales en ese espacio. Una curva unidimensional simplemente será dada por un mapa [math] s \ mapsto (t (s), x (s)) [/ math]. Usando la regla de la cadena, a lo largo de dicha curva: [matemáticas] \ frac {d} {ds} u (t (s), x (s)) = u_ {t} \ frac {dt} {ds} + u_ { x} \ frac {dx} {ds} [/ math].
Entonces, esta derivada total dará el lado izquierdo de la ecuación diferencial parcial original si:
[matemáticas] \ frac {dt} {ds} = 1 [/ matemáticas]
y
[matemáticas] \ frac {dx} {ds} = c [/ matemáticas].
Este es el truco del método de características: una ecuación diferencial parcial se reduce a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias a lo largo de las superficies características. El sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias puede ser más fácil de resolver.
Dado que [math] c [/ math] es solo una función constante aquí, las soluciones de estas ecuaciones paramétricas se encuentran fácilmente: son solo un conjunto de líneas rectas paralelas en el espacio [math] (t, x) [/ math] .
[matemáticas] C: s \ mapsto (s + t_0, cs + x_0) [/ matemáticas]
Pero la ecuación diferencial original aquí claramente dice que las soluciones son constantes a lo largo de las líneas características.
Una superficie no característica cerca de un punto P para esta ecuación es simplemente una curva suave que no se auto intersecta a través de P cuyo vector tangente no apunta en ninguna parte a lo largo de una superficie característica. Entonces, la superficie inicial en ninguna parte se encuentra a lo largo de una superficie característica. Puede cortar superficies características, pero no debe estar a lo largo de ellas.
Si este es el caso de alguna curva inicial [matemáticas] I: i \ mapsto (t (i), x (i)) [/ matemáticas], entonces puede especificar los valores iniciales de la función [matemáticas] u = u_0 (t (i), x (i)) = f (x (i)) [/ math], para todos [math] x (i) [/ math] en la curva.
La solución al problema del valor inicial se construye simplemente resolviendo la ecuación diferencial completa para [math] u [/ math] a lo largo de la línea característica a través de cada punto en la superficie, y por construcción esta ecuación simplemente dice que u es constante a lo largo de líneas características: [matemáticas] \ frac {du} {ds} = 0 [/ matemáticas].
Usando la parametrización anterior y eligiendo las constantes arbitrarias para establecer [math] t (i) = 0 [/ math] a lo largo de la superficie inicial, puede encontrar fácilmente que [math] u (t, x) = f (x- ct) [/ math], donde [math] f (x (i)) [/ math] dio el valor de [math] u [/ math] en la curva inicial. Entonces, esta es una solución tipo onda: es una forma fija de onda que se mueve hacia la derecha a velocidad constante [matemáticas] c [/ matemáticas]. Las ecuaciones hiperbólicas generalmente tendrán soluciones en forma de onda.
Y esta es también, más o menos, la prueba de que el problema del valor inicial está bien planteado. La solución existe y es única.
Por supuesto, esto falla si intenta especificar valores iniciales a lo largo de una de las líneas características, que son solo líneas en el plano [math] (t, x) [/ math]. En este caso, dado que la ecuación diferencial dice que las soluciones son constantes a lo largo de las características, los datos iniciales serán inconsistentes a menos que también sean datos iniciales constantes.
El método de características se puede generalizar a ecuaciones de segundo orden y superiores, y también a ecuaciones no lineales, pero los resultados no serán tan simples como en este caso.
Esta noción de ecuación hiperbólica también se generaliza, y exactamente la misma técnica mostrará que la ecuación de onda unidimensional es hiperbólica, y ese es en realidad un caso más interesante, y vale la pena analizarlo en detalle. Las superficies características en este caso serán conos ligeros, y los conos son simplemente hiperboloides degenerados de dos láminas: de ahí el término hiperbólico.