Cómo derivar las tres ecuaciones de movimiento

Answer 1

Probar ecuaciones de movimiento.

Método 1 (Método algebraico simple):

A partir de la definición de aceleración, sabemos que es la tasa de cambio en la velocidad o podemos escribirla matemáticamente de esta manera.

[matemáticas] a = \ dfrac {vu} {t} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ boxed {v = u + at} [/ math] …. (1)

Ahora también sabemos que el desplazamiento es producto de la velocidad y el tiempo promedio.

[matemáticas] S = (\ dfrac {(v + u)} {2}) t [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {u + en + u} {2} t [/ matemáticas]

[matemáticas] [\ porque v = u + en] [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {2ut + en ^ 2} {2} [/ matemáticas]

[math] = \ dfrac {2ut} {2} + \ dfrac {at ^ 2} {2} [/ math]

[matemáticas] \ en caja {S = ut + \ dfrac {1} {2} en ^ 2} [/ matemáticas] …. (2)

De la segunda ecuación sabemos que el desplazamiento es el producto de la velocidad y el tiempo promedio.

[matemáticas] S = (\ dfrac {v + u} {2}) t [/ matemáticas]

[matemáticas] = (\ dfrac {v + u} {2}) (\ dfrac {vu} {a}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {v ^ 2-u ^ 2} {2a} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ en caja {v ^ 2 = u ^ 2 + 2as} [/ matemáticas] …. (3)

Método 2 (método de cálculo):

Lo sabemos

[matemáticas] a = \ dfrac {\ Delta v} {\ Delta t} = \ dfrac {dv} {dt} [/ matemáticas]

[matemáticas] a dt = dv [/ matemáticas]

Integrando ambos lados

[matemáticas] \ displaystyle \ int ^ {t} _ {0} a dt = \ displaystyle \ int ^ {v} _ {u} dv [/ math]

[matemáticas] en = vu [/ matemáticas]

[matemáticas] \ boxed {v = u + at} [/ math] …. (1)

Lo sabemos

[matemáticas] v = \ dfrac {dS} {dt} [/ matemáticas]

[matemáticas] v dt = dS [/ matemáticas]

[matemáticas] (u + at) dt = dS [/ matemáticas]

Integrando ambos lados

[matemáticas] \ displaystyle \ int ^ {t} _ {0} (u + at) dt = \ displaystyle \ int ^ {S} _ {0} ds [/ math]

[matemáticas] ut + \ dfrac {at ^ 2} {2} = S [/ matemáticas]

[matemáticas] \ en caja {S = ut + \ dfrac {1} {2} en ^ 2} [/ matemáticas] …. (2)

Todos sabemos eso

[matemáticas] a = \ dfrac {dv} {dt} = \ dfrac {dv} {dt} * \ dfrac {dS} {dS} = \ dfrac {v dv} {dS} [/ math]

[matemáticas] adS = vdv [/ matemáticas]

Integrando ambos lados

[matemáticas] \ displaystyle \ int ^ {S} _ {0} a = \ displaystyle \ int ^ {v} _ {u} v [/ math]

[matemáticas] aS = \ dfrac {v ^ 2-u ^ 2} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ en caja {v ^ 2 = u ^ 2 + 2aS} [/ matemáticas] …. (3)

Answer 2

1.Primera ecuación de movimiento:

Sabemos ,

aceleración (a) = [matemáticas] \ dfrac {Cambio \: en \: velocidad} {Tiempo \: tomado} [/ matemáticas]

a = [matemáticas] \ dfrac {Final \: velocidad-Inicial \: velocidad} {Tiempo \: tomado} [/ matemáticas]

o => a = [matemáticas] \ dfrac {(vu)} {t} [/ matemáticas]

o => at = vu

o => v = u + en ————— (i)

2. Segunda ecuación de movimiento:

Sabemos ,

=> Distancia recorrida = Velocidad media × Tiempo

=> Distancia recorrida = [matemática] \ dfrac {Inicial \: Velocidad + Final \: Velocidad} {2} \ veces Tiempo [/ matemática]

=> s = [matemáticas] \ dfrac {v + u} {2} \ veces t [/ matemáticas]

De la ecuación (i) => v = u + en

∴ s = [matemáticas] \ dfrac {u + (u + at)} {2} \ veces t [/ matemáticas]

o s = [matemáticas] \ dfrac {(2u + at)} {2} \ veces t [/ matemáticas]

o s = ut + (1/2 • at²) ————— (ii)

3. Tercera ecuación de movimiento:

=> Distancia recorrida = Velocidad media × Tiempo

=> Distancia recorrida = [matemática] \ dfrac {Inicial \: Velocidad + Final \: Velocidad} {2} \ veces Tiempo [/ matemática]

=> s = [matemáticas] \ dfrac {v + u} {2} \ veces t [/ matemáticas]

De la ecuación (i) => v = u + en

o t = [matemáticas] \ dfrac {vu} {a} [/ matemáticas]

∴ s = [matemáticas] \ dfrac {u + v} {2} \ veces [/ matemáticas] [matemáticas] \ dfrac {vu} {a} [/ matemáticas] = [matemáticas] \ dfrac {v²-u²} {2a } [/matemáticas]

o v²-u² = 2as

o v² = u² + 2as —————— (iii)

Dónde ,

u = velocidad inicial

v = velocidad final

t = tiempo

s = distancia

Answer 3

No has mencionado qué tres ecuaciones. Pero, supongo que estás hablando de las tres ecuaciones de movimiento uniformemente acelerado. Estos son
1. [matemáticas] v = u + en [/ matemáticas]
2. [matemáticas] S = ut + \ frac {1} {2} en ^ {2} [/ matemáticas]
3. [matemáticas] v ^ {2} – u ^ {2} = 2aS [/ matemáticas]

Antes de aprender las derivaciones de estas ecuaciones, debe tener un conocimiento previo de las ecuaciones diferenciales (cálculo).

Ok, entonces comencemos a derivarlos.

Derivación de la primera ecuación:
[matemáticas] \ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t} = a [/ math]
[math] \ int dv = \ int adt = a \ int dt [/ math] (ya que a es uniforme, es decir, constante)
[matemáticas] \ int_ {u} ^ {v} dv = \ int_ {0} ^ {t} dt [/ matemáticas]
[matemáticas] vu = a (t-0) [/ matemáticas]
Por lo tanto, [matemáticas] v = u + en [/ matemáticas]

Derivación de la segunda ecuación:
[math] \ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} = v [/ math]
[matemáticas] \ int_ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} dx = \ int_ {0} ^ {t} vdt [/ matemáticas]
poniendo el valor de v de la primera ecuación: [matemáticas] v = u + en [/ matemáticas]
[matemáticas] \ int_ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} dx = \ int_ {0} ^ {t} (u + at) dt [/ matemáticas]
[matemáticas] x_ {2} – x_ {1} = S = ut + \ frac {1} {2} en ^ {2} [/ matemáticas]
Por lo tanto, [matemáticas] S = ut + \ frac {1} {2} en ^ {2} [/ matemáticas]

Derivación de la tercera ecuación:
[math] \ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} = v [/ math] y [math] \ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t} = a \ rightarrow dt = \ frac {dv} {a} [/ math]
Por lo tanto, [math] \ int vdv = \ int adx \ rightarrow \ int_ {u} ^ {v} dv = a \ int_ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} dx [/ math]
[matemáticas] \ frac {v ^ {2} – u ^ {2}} {2} = a (x_ {2} -x_ {1}) [/ matemáticas]
Por lo tanto , [matemáticas] v ^ {2} – u ^ {2} = 2aS [/ matemáticas]

Bingo. Se derivan las tres ecuaciones. 🙂