¿Son lineales las ecuaciones de Laplace y Poisson?

La respuesta corta es “Sí, son lineales”. No confunda la linealidad con el orden de una ecuación diferencial.

Pero ahora déjenme tratar de explicar: ¿Cómo pueden verificar si hay alguna ecuación diferencial?

Pasos para verificar:

1) Dé diferentes nombres a la variable dependiente y derivadas de la variable dependiente. Quiero decir que no escribas primero, segundo o cualquier otra derivada en forma de derivada, sino dales un nombre (símbolo) diferente.

2) Ahora ponga estos símbolos en la ecuación diferencial. Me refiero a reemplazar la variable dependiente y sus derivados con estos símbolos.

3) Ahora vea qué tipo de relación existe entre los nuevos símbolos.

4) Si en el paso 3 obtiene una relación lineal, la ecuación diferencial es lineal, de lo contrario no es lineal.

Vamos a aplicar estos pasos a la ecuación de Laplace como ejemplo:

Sea ‘phi’ la variable dependiente en la ecuación de Laplace. (que suele ser el caso)

1) Dar nombres: deje que ‘phi’ sea ‘P’ segunda derivada wrt ‘x’ sea ‘Q’ y la segunda derivada wrt ‘y’ sea ‘R’.
2) Poniendo en la ecuación D.: Q + R = 0
3) Ver la relación entre los nuevos símbolos: Aquí Q y R están linealmente relacionados.
4) Dado que en el paso 3 tenemos una relación lineal, de ahí la d. La ecuación es lineal .

Suponga que obtiene algo como Q = Rsquared o Q = P * R, etc., estos serán casos no lineales.

Eso es. Pruebe estos pasos para otras ecuaciones diferenciales también y disfrute.

¡¡Espero eso ayude!!