¿Cuál es la fórmula para el enésimo término de un AP cuya diferencia común está en GP?

Answer 1

Primero, cualquier progresión aritmética tiene una diferencia común constante. En el momento en que la diferencia común está en la progresión geométrica, la secuencia pierde su capacidad de ser llamada progresión aritmética a menos que la relación común de GP sea 1. Si la relación común de GP es 1, entonces es un AP donde nth El término es a + (n-1) d. Donde a es el primer término yd es la diferencia común. Si quiere saber sobre el enésimo término en la “secuencia” donde la diferencia entre los 2 términos sigue la progresión geométrica. Entonces,
[matemáticas] a_2-a_1 = br [/ matemáticas]
[matemáticas] a_3-a_2 = br ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] a_4-a_3 = br ^ 3 [/ matemáticas]
.
.
.
[matemáticas] a_n-a_ {n-1} = br ^ {n-1} [/ matemáticas]
Ahora agregando todos los términos
[matemáticas] a_n-a_1 = br + br ^ 2 + br ^ 3 +… + br ^ {n-1} [/ matemáticas]
[matemáticas] a_n = a_1 + br \ frac {r ^ {n-1} -1} {r-1} [/ matemáticas]
si [matemáticas] r> 1 [/ matemáticas].
[matemáticas] a_n = a_1 + br \ frac {1- (r ^ {n-1})} {1-r} [/ matemáticas]
si [matemática] r <1 [/ matemática].

Answer 2

Consideremos las series con el primer término como a y la razón común sea r,
Por lo tanto, deje
[matemáticas] X = a + (a + d) + (a + 2dr) + (a + 3dr ^ 2) +… .. + (a + (n-1) dr ^ (n-2)) [/ matemáticas]
Entonces,
Deje [matemáticas] S = 1 + 2r + 3r ^ 2 +…. + (N-1) r ^ (n-2) [/ matemáticas]…. (1)
Ahora, multiplique la ecuación (1) por r, entonces
[matemáticas] rS = 1r + 2r ^ 2 +…. + (n-2) r ^ (n-2) + (n-1) (r ^ (n-1)) [/ matemáticas]…. (2)
Ahora restemos la ecuación (2) de (1)
[matemáticas] S (1-r) = 1 + 1r + 1r ^ 2 +…. + r ^ (n-2) – (n-1) (r ^ (n-1)) [/ matemáticas]
cual es
[matemática] S (1-r) = ((1-r ^ (n-1) / (1-r)) – (n-1) (r ^ (n-1)) [/ matemática]
[matemáticas] S = (1-r ^ (n-1)) / ((1-r) ^ 2)) – ((n-1) (r ^ (n-1))) / (1-r) [/matemáticas]
Por lo tanto,
[matemáticas] X = na + dS [/ matemáticas]
Por lo tanto,
[matemáticas] X = na + d ((1-r ^ (n-1)) / ((1-r) ^ 2)) – ((n-1) (r ^ (n-1))) / ( 1-r)) [/ matemáticas]