Conceptos como energía e impulso son creaciones humanas; no hay nada en el universo que se base en que esas definiciones sean lo que son; el universo continúa en su feliz camino independientemente. Por lo tanto, es importante tener en cuenta que [matemáticas] \ frac {1} {2} mv ^ {2} [/ matemáticas] es la definición de energía cinética en la mecánica newtoniana. Lo definimos como tal porque resulta ser algo útil para realizar un seguimiento, ya que simplifica el proceso de pensar sobre la física de los objetos en movimiento. Si lo mira de esa manera, la respuesta a su pregunta de por qué tiene la forma que tiene es simplemente, “porque eso fue lo que se consideró más útil”.
Es probable que esa respuesta no sea tan satisfactoria, porque debe obtener una comprensión intuitiva de cómo encajan todas estas formas de ver el movimiento antes de que todo tenga sentido, y eso requiere tiempo y experiencia. Podemos ver otro tipo de energía, una cuya formulación no implica un término cuadrado, y ver cómo encaja con la definición anterior. Llamamos a esta forma de trabajo energético. El trabajo se define como la cantidad de energía gastada por una fuerza, [matemática] F [/ matemática], que actúa sobre una distancia, [matemática] d [/ matemática]:
[matemáticas] W = Fd [/ matemáticas]
(Por simplicidad, estoy ignorando la naturaleza vectorial de estas cantidades; supongo que todo es puramente unidimensional). Cuando pensamos en un objeto móvil, la aplicación de una fuerza da como resultado una aceleración, [matemáticas] a [/ matemáticas], cuya magnitud es proporcional a la fuerza a través de la masa, [matemática] m [/ matemática], del objeto:
- ¿Cuáles son las ecuaciones matemáticas que te hicieron sonreír?
- ¿Es verdadera la siguiente ecuación? ¿Existe una transformación estándar o una prueba de que es verdad?
- ¿Un sistema de soluciones con más incógnitas que ecuaciones implica dependencia lineal? Del mismo modo, ¿un sistema de ecuaciones con más ecuaciones que incógnitas implica independencia lineal?
- ¿Son lineales las ecuaciones de Laplace y Poisson?
- ¿Cuál es la ecuación de van der Waals?
[matemáticas] F = ma [/ matemáticas]
Conectando eso nuevamente a nuestra ecuación de trabajo:
[matemáticas] W = loco [/ matemáticas]
Entonces, la cantidad de trabajo realizado a un objeto móvil es igual a su masa multiplicada por su aceleración multiplicada por la distancia sobre la cual la aceleración ha estado en efecto. Hasta aquí todo bien.
Desde este punto, un enfoque de cálculo es apropiado, pero voy a intentar un enfoque algebraico, que obviamente es más fácil de entender si no ha tenido experiencia con el cálculo, pero que necesariamente implicará un poco de agitación manual. También voy a suponer que la aceleración es constante; de lo contrario, el enfoque algebraico se vuelve intractible.
Hagamos un poco de trabajo; aplicaremos una aceleración, [matemática] a [/ matemática], a nuestro objeto por un período de tiempo, [matemática] t [/ matemática]. Si el objeto inicialmente tenía una velocidad [matemática] v_ {0} [/ matemática], la nueva velocidad, [matemática] v_ {1} [/ matemática], viene dada por:
[matemáticas] v_ {1} = v_ {0} + en [/ matemáticas]
Entonces, la velocidad inicial del objeto es [matemática] v_ {0} [/ matemática], aplicamos una aceleración, [matemática] a [/ matemática], por algún tiempo, [matemática] t [/ matemática], y la velocidad final es [matemáticas] v_ {1} [/ matemáticas]. Dada la aceleración constante, la velocidad promedio durante ese tiempo está dada simplemente por el promedio de las velocidades inicial y final (esta es la parte de agitación manual, porque no voy a tratar de probarlo):
[matemáticas] \ overline {v} = \ frac {v_ {1} + v_ {0}} {2} [/ matemáticas]
La distancia que se mueve el objeto durante este tiempo es solo la velocidad promedio multiplicada por el tiempo:
[matemáticas] d = \ overline {v} t [/ matemáticas]
Regresemos eso a nuestra ecuación de trabajo:
[matemáticas] W = mad = ma \ overline {v} t [/ math]
Y ahora sustituye la expresión por velocidad media:
[matemáticas] W = ma \ frac {v_ {1} + v_ {0}} {2} t [/ matemáticas]
Y finalmente sustituya la expresión para [math] v_ {1} [/ math] de arriba:
[matemáticas] W = ma \ frac {v_ {0} + en + v_ {0}} {2} t [/ matemáticas]
¡Uf! Al recopilar y reorganizar los términos, obtenemos:
[matemáticas] W = ma (v_ {0} t + \ frac {1} {2} en ^ {2}) [/ matemáticas]
Consideremos ahora el caso más simple: al principio, el objeto está en reposo ([matemática] v_ {0} = 0 [/ matemática]). La expresión para el trabajo se simplifica a:
[matemáticas] W = \ frac {1} {2} ma ^ {2} t ^ {2} = \ frac {1} {2} m (at) ^ {2} [/ matemáticas]
Pero espere un segundo … si [math] v_ {0} = 0 [/ math], entonces nuestra expresión para ([math] v_ {1} [/ math]) anterior se reduce a [math] v_ {1} = en [ / math], y así podemos sustituir esto en nuestra ecuación de trabajo para obtener:
[matemáticas] W = \ frac {1} {2} mv_ {1} ^ {2} [/ matemáticas]
En otras palabras, si comenzamos con un objeto en reposo, la cantidad de trabajo que hacemos sobre él es igual a su energía cinética final.
Este es solo uno de los miles de millones de ejemplos que muestran cómo los diferentes conceptos de energía están relacionados entre sí.