Si es cierto. Pero aunque la prueba no es difícil, supongo que notó este patrón y no se lo mostró. si es así, bien por ti. Darse cuenta de cosas como esta es el primer paso para probar cosas en las que nadie ha pensado. Un estudiante mío señaló un hecho similar el otro día, y es importante no descartar el descubrimiento de declaraciones aparentemente “triviales”.
Si bien la prueba sin palabras y el enfoque algebraico “FOIL and check” de esta identidad están bien, esto me hizo pensar que me gustaría señalar algo más que esto sugiera: una derivada discreta. Si eso suena aterrador, no te preocupes, no lo es. En realidad, implica un procedimiento divertido de tomar diferencias de términos consecutivos en secuencias.
Si [math] S_n = n ^ 2 [/ math] es la secuencia de números cuadrados, entonces lo que has escrito es que [math] S_ {n + 1} -S_n = 2n + 1 [/ math]. En otras palabras, que la secuencia de diferencias es la misma que la secuencia de números impares, llamaré a esas [matemáticas] A_n [/ matemáticas]. Este es un hecho realmente famoso, pero de nuevo, es posible que no lo hayas sabido.
Ahora suponga que hace lo mismo con [matemáticas] A_n [/ matemáticas]: [matemáticas] A_ {n + 1} -A_n = (2 (n + 1) +1) – (2n + 1) = 2 [/ matemáticas ] Todo lo que digo aquí de una manera elegante es que la diferencia entre números impares consecutivos es 2, lo que debería quedar claro de inmediato.
- ¿Un sistema de soluciones con más incógnitas que ecuaciones implica dependencia lineal? Del mismo modo, ¿un sistema de ecuaciones con más ecuaciones que incógnitas implica independencia lineal?
- ¿Son lineales las ecuaciones de Laplace y Poisson?
- ¿Cuál es la ecuación de van der Waals?
- Cómo resolver una ecuación de suma y resta sin usar + o –
- ¿Cuál es la fórmula para el enésimo término de un AP cuya diferencia común está en GP?
Lo interesante sucede si haces esto con los cubos, las cuartas potencias, etc. Tendrás que tomar secuencias de diferencia más sucesivas antes de obtener una diferencia constante, pero siempre sucede.
Por ejemplo: let [math] C_n = n ^ 3 = (0, 1, 8, 27, 64, …) [/ math], los números del cubo.
Entonces [matemáticas] C_ {n + 1} -C_n = (n + 1) ^ 3 – n ^ 3 = 3n ^ 2 + 3n + 1 [/ matemáticas] que se expande a la secuencia [matemáticas] (1, 7, 19 , 37, …) [/ matemáticas].
Entonces la siguiente diferencia será:
[matemáticas] 3 (n + 1) ^ 2 + 3 (n + 1) +1 – (3n ^ 2 + 3n + 1) [/ matemáticas]
que después de la simplificación se convierte
[matemáticas] 6n + 6 = (6, 12, 18, …) [/ matemáticas].
La diferencia entre términos sucesivos de esta última secuencia es evidentemente 6.
Si lo intentas con cuartos poderes, la diferencia constante después de 4 rondas de esto resulta ser 24.
Entonces, las diferencias son 1 (para las diferencias de enteros consecutivos mismos), 2, 6, 24. Si reconoce esa secuencia, buen trabajo: son los factoriales.
Esto básicamente proviene del hecho de que [matemáticas] \ frac {d ^ n} {d ^ {n} x} (x ^ n) = n! [/ Matemáticas]. Si bien la derivada real implica un límite en el que hace que el intervalo que calcule la diferencia sea cada vez más pequeño, no importa que esté usando un intervalo fijo de 1, si una vez toma suficientes diferencias para llegar a una constante.
