En resumen, la respuesta a la primera pregunta es sí, mientras que la respuesta a la segunda pregunta es no.
Un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas [matemáticas] n [/ matemáticas] [matemáticas] x_1, \ ldots, x_n [/ matemáticas] que tienen ecuaciones [matemáticas] m [/ matemáticas]
[matemáticas] a_ {11} x_1 + \ cdots + a_ {1n} x_n = c_1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ vdots \ qquad \ vdots \ qquad \ vdots \ qquad \ vdots \ qquad \ vdots [/ math]
[matemáticas] a_ {m1} x_1 + \ cdots + a_ {mn} x_n = c_m [/ matemáticas]
se puede modelar como la ecuación matricial
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[matemáticas] \ begin {pmatrix} a_ {11} & \ cdots & a_ {1n} \\ \ vdots & & \ vdots \\ a_ {m1} & \ cdots & a_ {mn} \ end {pmatrix} \ begin { pmatrix} x_1 \\ \ vdots \\ x_n \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} c_1 \\ \ vdots \\ c_m \ end {pmatrix} [/ math]
que se puede escribir como
[matemáticas] Ax = c [/ matemáticas]
El tamaño del conjunto más grande de columnas linealmente independientes de matriz [matemática] A [/ matemática] se denomina rango de columna de [matemática] A [/ matemática]. Si el rango de la columna es menor que el número de columnas de [math] A [/ math], es decir, menor que el número de incógnitas, entonces las columnas de [math] A [/ math] son linealmente dependientes, de lo contrario son linealmente independientes .
Por lo tanto, un sistema de ecuaciones con más incógnitas que ecuaciones debe tener un rango de columnas que sea menor que el número de incógnitas, y su afirmación es verdadera. Sin embargo, un sistema de ecuaciones con menos incógnitas que ecuaciones aún podría tener un rango de columnas menor que el número de incógnitas. Por ejemplo, el sistema de ecuaciones
[matemáticas] x + y = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] 2x + 2y = 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] 3x + 3y = 3 [/ matemáticas]
o
[matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 3 & 3 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \ end {pmatrix} [/ math]
tiene menos incógnitas que ecuaciones, pero las columnas de [math] A = \ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 3 & 3 \ end {pmatrix} [/ math] todavía dependen linealmente, porque su columna el rango es 1 y no 2.