Hay un buen número de ecuaciones que pueden hacer sonreír a una persona matemáticamente capaz y agradecida. Aquí hay una pareja.
Una es la fórmula de Euler:
[matemáticas] e ^ {it} = \ cos (t) + i \ sin (t) [/ matemáticas]
La fórmula es impresionante porque relaciona las nociones aparentemente dispares de crecimiento exponencial, simbolizado por [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas], y ciclicidad, simbolizado por las funciones trigonométricas [matemáticas] \ sen [/ matemáticas] y [matemáticas] \ cos [/ math]. Dejando que una función de crecimiento exponencial general esté dada por [math] f (t) = e ^ {rt} [/ math], vemos que si [math] r [/ math] es positivo, tenemos un crecimiento exponencial, si [math ] r [/ math] es negativo, tenemos decaimiento exponencial, y si [math] r [/ math] es imaginario, tenemos ciclicidad, como las estaciones.
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No pensaría que estas dos cosas tienen alguna conexión simplemente al mirarlas por sí mismas en términos de números reales. Los dos tipos de funciones no podrían ser más diferentes. Sin embargo, si ampliamos nuestros horizontes al plano complejo, son uno y el mismo, integrados en la única función exponencial compleja. ¡Y hasta podemos expresar las funciones trigonométricas en términos de la función exponencial !:
[matemáticas] \ sin (t) = \ frac {e ^ {it} – e ^ {- it}} {2i}, \ \ cos (t) = \ frac {e ^ {it} + e ^ {- it }} {2} [/ matemáticas]
Estas fórmulas se pueden derivar fácilmente de la fórmula de Euler al observar que [math] \ sin [/ math] es una función impar y que [math] \ cos [/ math] es una función par.
Y, por supuesto, son la fuente de la famosa identidad de Euler.
[matemáticas] e ^ {i \ pi} + 1 = 0 [/ matemáticas]
aunque me gusta la versión con “Tau”, [math] \ tau [/ math], dada por [math] \ tau = 2 \ pi [/ math], que algunos han sugerido es la constante del círculo “mejor”, un poco más:
[matemáticas] e ^ {i \ tau} = 1 [/ matemáticas]
que le muestra de inmediato que la función exponencial en el plano complejo es una función periódica.
La derivación también es muy hábil. Hay varias formas de hacerlo, pero la que más me gusta es esta. Lo siguiente no es 100% riguroso, pero podría hacerse así. Comenzamos con la definición de la función exponencial como un punto fijo de la derivada , es decir, como la solución de
[matemáticas] y ‘= y [/ matemáticas]
cuando [matemáticas] y (0) = 1 [/ matemáticas]. Es un teorema básico de ecuaciones diferenciales que el tipo de ecuación que se muestra tiene una solución única. Puede ver que [math] y = e ^ x [/ math] funciona diferenciando.
Entonces ahora considere [math] y = e ^ {ix} [/ math]. Si suponemos que esto representa algún número complejo, primero podemos intentar obtener su magnitud. La magnitud de cualquier número complejo [matemática] z [/ matemática] viene dada por [matemática] | z | = \ sqrt {z \ bar {z}} [/ math], donde [math] \ bar {z} [/ math] es el conjugado complejo formado al negar la parte imaginaria.
¿Cuál es la magnitud de [matemáticas] e ^ {ix} [/ matemáticas]? Bueno, primero necesitamos el conjugado. Suponiendo que [math] y = e ^ {ix} [/ math] es diferenciable en función de la variable real [math] x [/ math], la diferenciamos con respecto a [math] x [/ math] para obtener
[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = es decir, ^ {ix} [/ matemáticas].
Ahora tomando el conjugado de esto, obtenemos que
[matemáticas] \ begin {align} \ overline {\ frac {dy} {dx}} & = \ overline {ie ^ {ix}} \\ \ frac {d \ bar {y}} {dx} & = \ bar {i} \ overline {e ^ {ix}} \\ \ frac {d \ bar {y}} {dx} & = -i \ overline {e ^ {ix}} \ end {align} [/ math]
y la última ecuación es [math] \ bar {y} ‘= -i \ bar {y} [/ math]. Podemos ver por inspección que [math] \ bar {y} = e ^ {- ix} [/ math] satisface esto, y según el teorema mencionado, esta será la solución única. Entonces nuestra magnitud es
[matemáticas] | e ^ {ix} | = \ sqrt {e ^ {ix} \ bar {e ^ {ix}}} = \ sqrt {e ^ {ix} e ^ {- ix}} = \ sqrt {e ^ {ix – ix}} = \ sqrt {e ^ 0} = 1 [/ matemáticas].
Entonces, la magnitud es 1 y, por lo tanto, se encuentra en el círculo unitario. [math] e ^ {ix} [/ math] está confinado completamente al círculo unitario. Pero ahora, si miramos hacia atrás, tenemos que la derivada de [matemáticas] e ^ {ix} [/ matemáticas] es [matemáticas] es decir ^ {ix} [/ matemáticas], y si tomamos la magnitud de eso, nosotros también es 1. Usando la geometría de la multiplicación compleja, vemos que [matemática] i [/ matemática] multiplica por cualquier cosa que la gira 90 grados, por lo que si interpretamos [matemática] e ^ {ix} [/ matemática] como una posición vector, y su derivada como un vector de velocidad en el plano, vemos que esto describe el movimiento en un círculo con velocidad constante: la velocidad está en ángulo recto con el radio dado por el vector de posición y tan tangente al círculo y tiene una magnitud constante a lo largo de la moción. Y el movimiento circular con velocidad constante se describe en [matemáticas] \ cos (\ omega t + \ phi) + i \ sin (\ omega t + \ phi) [/ matemáticas], y todo lo que necesitamos hacer es fijar la frecuencia angular y fase, que se puede hacer usando la condición inicial de que [matemática] e ^ {i0} = 1 [/ matemática] y que la derivada es [matemática] -ie ^ {it} [/ matemática], y de esto obtenemos que [matemáticas] \ omega = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ phi = 0 [/ matemáticas], por lo tanto
[matemáticas] e ^ {it} = \ cos (t) + i \ sin (t) [/ matemáticas].
Otra fórmula que me gusta mucho es la fórmula para la suma de los primeros enteros [math] n [/ math] :
[matemática] 1 + 2 + 3 + \ cdots + n = \ frac {n (n + 1)} {2} [/ matemática].
Hay varias formas interesantes de probar y argumentar a favor de esto, que es lo que me gusta de esto. Una, de la cual creo que algo similar se dice que el famoso Carl Friedrich Gauss se le ocurrió cuando era solo un niño en edad escolar, se muestra a continuación:
La expresión final se ve fácilmente igual a [math] \ frac {n (n + 1)} {2} [/ math].
Otra forma, que encontré por primera vez en el sitio web de Mathematics Stack Exchange (http://math.stackexchange.com) se puede mostrar con lo siguiente (esta es mi propia imagen):
Muestra que
[matemáticas] 1 + 2 + 3 + \ cdots + (n-1) = \ binom {n} {2} = \ frac {n (n-1)} {2} [/ matemáticas]
mostrando cómo cada elección de 2 objetos de [math] n [/ math] se correlaciona con un objeto en el conjunto de [math] 1 + 2 + 3 + \ cdots + (n-1) [/ math] objetos en un moda biyectiva. Hay [math] \ binom {n} {2} [/ math] formas de hacer tales elecciones, por lo tanto, este es el tamaño de la suma.
También se puede proporcionar una prueba algebraica, agregando [matemática] 1 + 2 + 3 + \ cdots + n [/ matemática] a [matemática] n + \ cdots + 3 + 2 + 1 [/ matemática] y agrupando términos :
[matemáticas] \ begin {align} (1 + 2 + 3 + \ cdots + n) + (n + \ cdots + 3 + 2 + 1) & = (1 + n) + (2 + (n-1)) + \ cdots + (n + 1) \\ & = (n + 1) + (n + 1) + \ cdots + (n + 1) \ (n \ \ mathrm {veces}) \\ & = n (n +1) \ end {align} [/ math]
Dividir por 2 produce la expresión como se da.
EDITAR: Rubbal Sidhu señaló que mi segundo diagrama contenía un error. Eso ya se ha solucionado. Gracias señor Sidhu!
