Sin métodos de prueba y error o aproximación, pero con los detalles que se aprecian, ¿cómo puede resolver [matemáticas] 8 ^ x + 9 ^ x = 10 ^ x [/ matemáticas]?

Answer 1

Supongo que al decir “sin métodos de prueba y error o aproximación” está descartando:

1.métodos gráficos

2. El método de Newton

3. El método de función iterativa (encontrar el punto fijo mencionado en una o más de las respuestas). Y, de hecho, estoy leyendo que quieres una respuesta como x = y quieres algo con raíces cuadradas, raíces cúbicas, etc., todo terminando con números que sean enteros / fracciones.

Sin embargo, creo que no existe tal solución para esta ecuación porque la solución a esta ecuación es trascendental. Al igual que e y pi, no se puede escribir así. Creo que si lees la declaración completa de la función de trascendencia de Hermite-Lindemann, quedará bastante claro por qué encaja.

Referencias

Dörrie, H. “El teorema de la trascendencia de Hermite-Lindemann”. §26 en 100 Grandes problemas de las matemáticas elementales: su historia y soluciones. Nueva York: Dover, pp. 128-137, 1965.

Hermite, C. “Sur la fonction exponentielle”. Comptes Rendus Acad. Sci. París 77 , 18-24, 1873.

Gordan, P. “Transcendenz von

und

” Math. Ann. 43 , 222-224, 1893.

Lindemann, F. “Über die Ludolph’sche Zahl”. Sitzungber. Königl. Preuss Akad Wissensch. zu Berlin No. 2, págs. 679-682, 1888.

Weber, H. Lehrbuch der Algebra, Vols. I-II. Nueva York: Chelsea, 1902.

Weierstrass, K. “Zu Hrn. Abhandlung de Lindemann: ‘Über die Ludolph’sche Zahl’. ” Sitzungber. Königl. Preuss Akad Wissensch. zu Berlin No. 2, pp. 1067-1086, 1885.

Answer 2

OK … Si quieres una respuesta exacta, puedo darte una, pero sospecho que no te gustará mucho.

[matemáticas] 8 ^ x + 9 ^ x = 10 ^ x \ \ implica \ 0.8 ^ x + 0.9 ^ x = 1 \ \ implica \ x \ ln (0.8) = \ ln \ left (1-0.9 ^ x \ right ) \ \ implica \ x = \ frac {\ ln \ left (1-0.9 ^ x \ right)} {\ ln (0.8)} [/ math]

Entonces vemos que cada solución, [math] x [/ math], es un punto fijo de la función

[matemática] f (x) = \ frac {\ ln \ left (1-0.9 ^ x \ right)} {\ ln (0.8)} [/ math]

(Recuerde que un punto fijo de [matemática] f [/ matemática] es un valor [matemático] x [/ matemático] para el cual [matemático] x = f (x) [/ matemático].)

Ahora, omitiré el análisis que demuestra que la ecuación original tiene una solución real única, ya que sospecho que se hizo en otra respuesta, y llegaré a su solución.

Definiremos una secuencia de números reales de la siguiente manera. Deje [math] x_0 = 3 [/ math]. (Elijo tres porque puedo decir que la solución es un número real positivo relativamente pequeño, y solo quiero elegir un valor para [math] x_0 [/ math] que esté cerca de la solución real). Luego, para cualquier [math] n \ in \ mathbb N [/ math], deje que [math] x_n = f (x_ {n-1}) [/ math]. Entonces [matemáticas] x_1 = f (x_0) [/ matemáticas] y [matemáticas] x_2 = f (x_1) = f (f (x_0)) [/ matemáticas] y así sucesivamente.

Tenga en cuenta que SI esta secuencia tiene un límite (indicado [matemática] x [/ matemática]), entonces el límite debe satisfacer [matemática] x = f (x) [/ matemática] y, por lo tanto, debe ser un punto fijo de [matemática] f [/ math] que a su vez implica que es la solución a la pregunta original. Y resulta que esta secuencia tiene un límite (aunque la prueba de este reclamo es más de lo que quiero proporcionar aquí).

Entonces concluimos que la solución a su ecuación viene dada por

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} x_n [/ matemáticas]

con la secuencia [math] \ {x_n \} [/ math] definida anteriormente.

“¡Espera un minuto!”, Dices. “Quiero una solución que sea un número real sin métodos de aproximación”.

De hecho lo haces, y de hecho esto es todo. El límite que he dado identifica de forma única un número real, o más bien EL , que resuelve su ecuación. (Los números reales se construyen, o más bien se pueden construir) como límites de secuencias, por lo que no debería molestarle que la respuesta se escriba de esta manera.) Es poco probable que obtenga una descripción más breve de este número que el que proporciono a menos que cuenta “la solución real única para [matemáticas] 8 ^ x + 9 ^ x = 10 ^ x [/ matemáticas]”, que también identifica de forma única la solución pero de una manera aún menos útil.

Considero que mi descripción de la solución es más útil porque demuestra un algoritmo para determinar el número con precisión arbitraria, lo que demuestra que su solución es especial. Es un número computable. Como casi todos los números reales no son computables, ¡su respuesta es especial! Pero ciertamente no va a obtener una representación para el número que sea sustancialmente más simple que la que se proporciona aquí.

Answer 3

Reorganicemos la ecuación para
[matemáticas] 9 ^ x = 10 ^ x – 8 ^ x [/ matemáticas]
Y use la siguiente identidad
[matemáticas] A ^ {n} – B ^ n = (AB) (A ^ {n-1} + BA ^ {n-2} ……) [/ matemáticas]
para expandir el RHS
obtenemos,
[matemáticas] 10 ^ {n} – 8 ^ n = (10-8) (10 ^ {n-1} + 8.10 ^ {n-2} ……) [/ matemáticas]
[matemáticas] 10 ^ {n} – 8 ^ n = (2) (10 ^ {n-1} + 8.10 ^ {n-2} ……) [/ matemáticas]
[matemáticas] 9 ^ n = 10 ^ {n} – 8 ^ n = (2) (10 ^ {n-1} + 8.10 ^ {n-2} ……) [/ matemáticas]

[matemáticas] 9 ^ n = 2.f (n) [/ matemáticas]
Ninguna potencia de 9 es uniforme, por lo que no hay soluciones enteras.

PD: Otra forma de concluir que no hay soluciones enteras es el uso del último teorema de Fermat. Que establece que para la ecuación de la forma [matemática] a ^ x + b ^ x = c ^ x [/ matemática] no hay enteros mayores que 2 que satisfagan dicha condición (¡los trillizos pitagóricos son soluciones!).

Por lo tanto, verificar la potencia 1 y 2 debe ser suficiente para el golpe y la prueba.

Answer 4

¿Qué hay de usar la búsqueda binaria ?
Si no está familiarizado con la técnica, permítame ilustrarla.
Considere la función [matemáticas] f (x) = 8 ^ {x} + 9 ^ {x} – 10 ^ {x} [/ matemáticas]. Ahora, queremos encontrar una solución para f (x) = 0. Claramente, nuestra función es continua ya que está definida para cada valor real de x.
[Casi allí ahora]

Ahora, verificamos el valor de f (x) para x = 0.
[matemáticas] f (0) = 1> 0 [/ matemáticas]
También,
[matemáticas] f (5) = -8183 <0 [/ matemáticas]

Ahora, la continuidad de la función es útil. Como f (0)> 0 yf (5) <0, debe haber un valor de x satisfactorio
[matemáticas] 0 \ leq x \ leq 5 [/ matemáticas]
tal que f (x) = 0.
Ahora tome el promedio de los 2 puntos finales (que son 0 y 5 en nuestro caso). El promedio resulta ser 2.5. Nuevamente, f (2.5)> 0 yf (5) <0. Tome el promedio de 2.5 y 5, que resulta ser 3.75. De nuevo, f (3.75)> 0. Continuar hasta
[matemática] -epsilon \ leq f (x) \ leq epsilon [/ math]
donde epsilon se establece en alrededor de 0.0001, etc. En unas 6 iteraciones, llegamos a una aproximación razonablemente buena para nuestra solución. 🙂

---

Código de Python:

def diff(x):
return 8**x + 9**x - 10**x eps = 0.000001 s = 0.0
e = 10 iters = int(raw_input())
m = -1
while iters > 0:
iters-=1
m = (s+e)/2
v = diff(m)
if v > eps:
s = m
elif v < -eps:
e = m
else:
break
print m

def diff(x):
return 8**x + 9**x - 10**x eps = 0.000001 s = 0.0
e = 10 iters = int(raw_input())
m = -1
while iters > 0:
iters-=1
m = (s+e)/2
v = diff(m)
if v > eps:
s = m
elif v < -eps:
e = m
else:
break
print m

def diff(x):
return 8**x + 9**x - 10**x eps = 0.000001 s = 0.0
e = 10 iters = int(raw_input())
m = -1
while iters > 0:
iters-=1
m = (s+e)/2
v = diff(m)
if v > eps:
s = m
elif v < -eps:
e = m
else:
break
print m

def diff(x):
return 8**x + 9**x - 10**x eps = 0.000001 s = 0.0
e = 10 iters = int(raw_input())
m = -1
while iters > 0:
iters-=1
m = (s+e)/2
v = diff(m)
if v > eps:
s = m
elif v < -eps:
e = m
else:
break
print m

PD: La solución es principalmente dar una idea sobre una técnica que se puede utilizar para resolver tales problemas. Aunque, en algunos casos [especialmente aquí también], los cálculos no se pueden hacer sin una calculadora.

Editar: Por favor, lea el comentario de Shreyas Basarge . Se ha eliminado la parte correspondiente que intentó demostrar que la función está disminuyendo.

Answer 5

Convierta la ecuación a [matemáticas] f (x) = 8 ^ x + 9 ^ x-10 ^ x = 0 [/ matemáticas]. La [matemática] f ‘(x) = 8 ^ x \ ln {8} + 9 ^ x \ ln {9} -10 ^ x \ ln {10} = \ ln {\ frac {8 ^ {8 ^ x} 9 ^ {9 ^ x}} {10 ^ {10 ^ x}}} [/ matemáticas].
Forme la secuencia [matemáticas] \ {x_n \} [/ matemáticas] donde [matemáticas] x_0 = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] x_ {n + 1} = x_n- \ frac {f (x_n)} {f ‘ (x_n)} = x_n- \ frac {8 ^ {x_n} + 9 ^ {x_n} -10 ^ {x_n}} {\ ln {\ frac {8 ^ {8 ^ {x_n}} 9 ^ {9 ^ { x_n}}} {10 ^ {10 ^ {x_n}}}}} [/ math]
[matemáticas] x_0 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] x_1 = – \ frac {7} {\ ln {\ frac {8 \ cdot9} {10}}} [/ matemáticas]

Answer 6

Usando Wolfram Alpha, calcule

Forma no aproximada

Este gráfico muestra la intersección de

Esto ocurre aproximadamente a las

Esto fue así, porque la intersección de dos gráficos, o los gráficos de dos ecuaciones da la solución común de las ecuaciones.

Podemos trazar el gráfico para e ^ x y es un tipo de gráfico parabólico.
Las gráficas para 9 ^ x y 8 ^ x tienen una naturaleza similar a la gráfica e ^ x, que es parabólica.
Entonces dibuja la curva para el gráfico 8 ^ x + 9 ^ x y el gráfico 10 ^ x, y donde sea que se crucen, obtienes la solución para 10 ^ x que es 4.42439

Fuente @ 8 ^ (x) + 9 ^ (x) = 10 ^ (x) – Wolfram | Alpha

Gracias 🙂

Answer 7

Esta pregunta puede resolverse más o menos fácilmente con Mathematica.

Primero, aquí hay un gráfico que muestra la forma general de [matemáticas] 8 ^ x + 9 ^ x [/ matemáticas] y de [matemáticas] 10 ^ x [/ matemáticas]:

El código de Mathematica utilizado para generar el gráfico anterior (modificado con Photoshop) es el siguiente:

Graficar [{8 ^ x + 9 ^ x, 10 ^ x}, {x, -0.5, 5}, PlotTheme -> “Detallado”, PlotRange -> {0, 70000}]

Luego, se pueden usar cinco símbolos integrados de Mathematica diferentes para encontrar el valor de [matemática] x [/ matemática] donde las dos curvas [matemática] 8 ^ x + 9 ^ x [/ matemática] y [matemática] 10 ^ x [ / matemáticas] se cruzan.

El primer símbolo de Mathematica es FindInstance [] y el código es:

SetPrecision [FindInstance [8 ^ x + 9 ^ x == 10 ^ x, x, Reals], 100]

He agregado SetPrecision [] para obtener un valor de [math] x [/ math] con 100 dígitos decimales.

El resultado requerido es:

[matemáticas] x = [/ matemáticas] 4.424392331069454161089158689821755873820346957788865634389545626678802493424853478354278642532565019003 .

El valor de [math] f (x) = 8 ^ x + 9 ^ x [/ math] y [math] g (x) = 10 ^ x [/ math] correspondiente al valor de [math] x [/ math ] arriba es:

[matemáticas] f (x) = g (x) = [/ matemáticas] 26570.04751580698151234510873220152270548002377415732869

Podemos dibujar un diagrama que muestre el punto de intersección (en rojo):

A continuación se muestra una mirada mucho más cercana al punto de intersección de [matemáticas] 8 ^ x + 9 ^ x [/ matemáticas] y [matemáticas] 10 ^ x [/ matemáticas]:

El código de Mathematica para el último diagrama anterior es el siguiente:

Trazar [{8 ^ x + 9 ^ x, 10 ^ x}, {x, 4.424392, 4.4243926}, PlotTheme -> “Detallado”, PlotRange -> {26570.042, 26570.052}, Epílogo -> {Rojo, PointSize [0.03] , Punto [{ex,

26570.04751580698151234510873220152270548002377415732869}]}]

Hemos definido ex = 4.4243923 … (el valor de [math] x [/ math] mencionado anteriormente donde se cruzan las dos curvas).

A continuación se encuentran los otros símbolos de Mathematica que podrían usarse adicional o alternativamente y el código correspondiente de Mathematica:

Reducir [8 ^ x + 9 ^ x == 10 ^ x, x, Reales]

Resolver [8 ^ x + 9 ^ x == 10 ^ x, x, Reales]

NSolve [8 ^ x + 9 ^ x == 10 ^ x, x, Reales]

FindRoot [8 ^ x + 9 ^ x == 10 ^ x, {x, 4}]

SetPrecision [] o N [] siempre se pueden usar para obtener una salida numérica con precisión adicional.

Answer 8

El director aquí es exactamente el mismo que en mi respuesta a esta pregunta.

Respuesta del usuario de Quora a ¿Cómo resuelve [matemática] 4 ^ x + 9 ^ x = 13 ^ x [/ matemática] (la respuesta es 1) usando formalmente un método lógico, en lugar de solo prueba y error?

En resumen, no lo hace (la respuesta probablemente ni siquiera se puede expresar en términos de funciones elementales), pero es posible comprender la solución geométricamente.

Answer 9

La dignidad de un matemático profesional (no importa cuán pequeño sea) no le permite (a él / ella) usar o explicar una fórmula madura para El nuevo teorema de Pitágoras , que es una solución directa

establece que para cualquier triángulo agudo dado con tres lados enteros distintos, digamos (S, M, L), existe un número positivo real, digamos (P), donde (S ^ P + M ^ P = L ^ P), donde , L es el lado más largo, y P se da en términos de los lados del triángulo y P es mayor que dos y número irracional

————————————————————————————
La formula es:

Suponga que (L> M> S), existe un número positivo irracional que dice (P), de modo que la siguiente ecuación es verdadera siempre

S ^ P + M ^ P = L ^ P

SOLUCIÓN: para obtener (P) de los tres enteros positivos distintos dados

Sea x = Ln (S / M) / Ln (S / L),

Donde Ln es el logaritmo natural para el
base (e = 2.718281828 …)

Sea f (x) una función en serie de x definida como se muestra a continuación:

f (x) = (1-x) * {1+ (3x / 2-1) + (2x-1) * (4x / 3-1)

+ (5x / 2-1) * (5x / 3-1) * (5x / 4-1)

+ (3x-1) * (2x-1) * (3x / 2-1) * (6x / 5-1)

+ (7x / 2-1) * (7x / 3-1) * (7x / 4-1) * (7x / 5-1) * (7x / 6-1) +…}.

Tenga en cuenta que el enésimo término general de la serie será:

(1-x) * (n * x / 2 -1) * (n * x / 3 -1) * (n * x / 4 -1) *… (n * x / (n-1) -1)

También tenga en cuenta que la serie es absolutamente convergente

lo desconocido (P) se puede obtener de mi siguiente fórmula.

P = Ln (f (x)) / Ln (S / L)

Sustituya la fórmula anterior (L = 10, M = 9, S = 8) que forma un triángulo agudo, y P es su x deseada en cuestión, ahora puede resolver cualquier pregunta de este tipo

Ver enlace: ¿Dónde puedo encontrar la prueba del nuevo Teorema de Pitágoras?

Answer 10

Usaría el método de Newton, con algunas simplificaciones apropiadas:
[matemáticas] 8 ^ x + 9 ^ x = 10 ^ x \ Rightarrow 1 + \ Big (\ frac {9} {8} \ Big) ^ x = \ Big (\ frac {5} {4} \ Big) ^ x [/ matemáticas]
[math] \ Rightarrow e ^ {x \ ln 1.25} -e ^ {x \ ln 1.125} -1 = 0 [/ math]

[matemáticas] \ frac {f ‘(x)} {f (x)} = \ frac {1.25 ^ x \ ln 1.25-1.125 ^ x \ ln 1.125} {1.25 ^ x-1.125 ^ x-1} [/ matemáticas ]

Answer 11

Este problema no debe publicarse en “Teoría de números”. La solución para x obviamente no es un número natural.

Algunas personas aquí han proporcionado métodos bastante sofisticados para resolver la ecuación exponencial. Creo que hay una manera mucho más fácil de resolver para x con cualquier precisión arbitraria, que puede usarse incluso en calculadoras científicas. La clave es reescribir la ecuación de la siguiente manera:

[matemáticas] x_ {n + 1} = log_ {10} [1 + (8/9) ^ {x_n}] / [1 – log_ {10} (9)] [/ matemáticas]

Se puede demostrar fácilmente que esta ecuación recursiva es numéricamente estable para todas las x positivas y convergerá rápidamente a la solución.

Answer 12

¿Estás seguro de que esto tiene una respuesta de forma cerrada? Si no, puede * solo * obtener una aproximación. (FWIW, incluso el software de Mathematica está perplejo por su pregunta. 🙂

Lo que puedes hacer es “resolverlo” gráficamente. La ecuación es equivalente a (8/10) ^ x + (9/10) ^ x – 1 = 0, y puede trazar las funciones (8/10) ^ x y 1 – (9/10) ^ x versus x . La solución es el valor x de la intersección de las curvas.

Answer 13

Según el último teorema de fermat, no hay solución posible para n> 2. Ahora, para N <= 2, una noción de paridad es suficiente. Nota 8 ^ x es par y 9 ^ x es impar, por lo que LHS es impar, pero RHS es una potencia de 10, ¡es una contradicción! por lo tanto no existe solución

Answer 14

Bueno, siempre puedes usar el Resultado vs Enviar Gráficos Funcionales .

¿Recuerdas en la escuela secundaria cuando el punto de intersección entre dos gráficos fue tu resultado? ¿Y recuerda cómo el gráfico e ^ x era una parábola?

Bueno, las gráficas para 9 ^ x y 8 ^ x tienen una naturaleza similar a la gráfica e ^ x, que es parabólica.
Entonces dibuja la curva para el gráfico 8 ^ x + 9 ^ x y el gráfico 10 ^ x, y donde sea que se crucen, obtienes la solución para 10 ^ x que es 4.42439