¿Hay algún número entero positivo [matemáticas] n [/ matemáticas] para el cual [matemáticas] n ^ 4 + n ^ 3 + n ^ 2 + n + 1 [/ matemáticas] es un cuadrado perfecto?

Answer 1

Esto es cierto para [matemáticas] n = 3 [/ matemáticas]. El valor se calcula en [matemáticas] 121 [/ matemáticas], que es [matemáticas] 11 ^ 2 [/ matemáticas].

Sea [matemática] P = n ^ 4 + n ^ 3 + n ^ 2 + n + 1 [/ matemática]
Tome la cantidad [matemática] T = 4P [/ matemática]

[matemáticas] T = 4P = 4n ^ 4 + 4n ^ 3 + 4n ^ 2 + 4n + 4 [/ matemáticas]
Lo anterior se puede escribir como
[matemáticas] T = (2n ^ 2 + n + 2) ^ 2 – 5n ^ 2 [/ matemáticas]
En lo anterior [matemática] T = A ^ 2 – 5n ^ 2 [/ matemática], para que T sea un cuadrado perfecto, y dado que n es un entero positivo; tiene que ser como [matemáticas] A – k [/ matemáticas]. Entonces

[matemáticas] (A – k) ^ 2 = A ^ 2 – 5n ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] A ^ 2 – 2Ak + k ^ 2 = A ^ 2 – 5n ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] – 2Ak + k ^ 2 = – 5n ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 (2n ^ 2 + n + 2) k – k ^ 2 = 5n ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] 4kn ^ 2 + 2nk + 4k – k ^ 2 = 5n ^ 2 [/ matemáticas]

Lo anterior puede ser cierto para [matemáticas] k = 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] k> 4 [/ matemáticas]. Obviamente, uno debe asegurarse de que n sea entero.

Para k = 1 da [matemáticas] 4n ^ 2 + 2n + 3 = 5n ^ 2 [/ matemáticas] da [matemáticas] n = 3 [/ matemáticas].

Ver también
La respuesta de Rajesh Durgapal a ¿Cuál es una forma de mostrar que no hay enteros positivos n para los cuales [matemáticas] n ^ 4 + 2n ^ 3 + 2n ^ 2 + 2n + 1 [/ matemáticas] es un cuadrado perfecto? ¿Hay algún número entero positivo n para el cual [matemáticas] n ^ 4 + n ^ 3 + n ^ 2 + n + 1 [/ matemáticas] es un cuadrado perfecto?

Answer 2

Teorema. La ecuacion

[matemáticas] x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1 = y ^ 2 [/ matemáticas]

tiene las soluciones integrales [matemática] (- 1,1) [/ matemática], [matemática] (0,1) [/ matemática], [matemática] (3,11) [/ matemática] y ninguna otra.

Prueba. De [matemáticas] f (x) = 4x ^ 4 + 4x ^ 3 + 4x ^ 2 + 4x + 4 [/ matemáticas] [matemáticas] = (2x ^ 2 + x) ^ 2 + 3 (x + \ frac {2} {3}) ^ 2 + \ frac {8} {3} [/ matemáticas]

resulta que

[matemáticas] f (x)> (2x ^ 2 + x) ^ 2 [/ matemáticas]

para todo real [matemáticas] x [/ matemáticas].

Por otro lado, [matemáticas] f (x) = (2x ^ 2 + x + 1) ^ 2- (x + 1) (x-3) [/ matemáticas]. El último

El término es positivo, excepto para los números reales [matemática] x [/ matemática] en el intervalo [matemática] I = [- 1,3] [/ matemática].

Es decir, [matemática] f (x) <(2x ^ 2 + x + 1) ^ 2 [/ matemática] siempre que [matemática] x \ notin I [/ matemática]. Así vemos que si [math] x [/ math]

es un número entero, [matemática] x \ notin I [/ matemática], luego [matemática] f (x) [/ matemática] se encuentra entre dos perfectos consecutivos

cuadrados, a saber, [matemáticas] (2x ^ 2 + x) ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] (2x ^ 2 + x + 1) ^ 2 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] f (x) [/ math] no puede ser un

cuadrado perfecto, excepto posiblemente para esos enteros [matemáticas] x \ en I [/ matemáticas], que examinamos

individualmente. QED

Referencia: I. Niven, HS Zuckerman, HL Montgomery, Introducción a la teoría de los números, Quinta edición, Teorema 5.9, página 237.

Answer 3

Siguiendo los pasos de Rajesh Durgapal

[matemáticas] 4P = (4n ^ 4 + 4n ^ 3 + n ^ 2) + 3n ^ 2 + 4n + 4 = [(2n ^ 2 + n) ^ 2 + 2 (2n ^ 2 + n) +1] – (n ^ 2–2n-3) = (2n ^ 2 + n + 1) ^ 2- (n ^ 2–2n-3) [/ matemáticas]

4P será un cuadrado perfecto si [matemáticas] n ^ 2–2n-3 = 0 [/ matemáticas] lo que implica n = 3 o -1

Para n = 3, 4P = 484 y P = 121, que es el cuadrado perfecto.

Answer 4

Si.

El caso [math] n = 3 [/ math] funciona.

Probé los primeros 100,000 números en python, y parece que 3 es el único número que funciona. Aquí está el script de Python:

## importa el módulo matemático de Python ##
matemáticas de importación

para n en rango (1,100000):
x = n ** 4 + n ** 3 + n ** 2 + n + 1
if math.sqrt (x)% 1 == 0.0: ## si la raíz cuadrada es un número entero, n funciona
imprimir (n, x)

Eso sí, esto no es una prueba, es solo una prueba de los primeros 100,000 enteros positivos. Si ejecuta esta secuencia de comandos, verá que [math] n = 3 [/ math] es el único caso que funciona fuera de los probados. Idealmente, habría probado más, pero realmente no quiero un tiempo de ejecución ridículamente enorme. Sin embargo, si alguien tiene una prueba algebraica para todos los enteros positivos, debe publicarla 🙂

Answer 5

Si desea ingresar a PROMYS, probablemente quiera resolver este problema usted mismo.

Supongo que es por eso que quieres saber esto, porque este año esa pregunta es parte de la aplicación.