No hay congruencia en la pregunta planteada, así que agregué [math] 0 [/ math] para que sea una congruencia. Por lo tanto, estoy tratando de determinar [matemáticas] x [/ matemáticas] módulo [matemáticas] 405 [/ matemáticas] de modo que [matemáticas] x ^ 3–10x ^ 2 + 9 \ equiv 0 \ pmod {405} [/ matemáticas] .
Cualquier solución [matemática] (x, y) [/ matemática] a [matemática] f (x) = x ^ 3–10x ^ 2 + 9 \ equiv 0 \ pmod {405} [/ matemática] también es una solución para el dos congruencias [matemáticas] f (x) \ equiv 0 \ pmod {5} [/ matemáticas] y [matemáticas] f (x) \ equiv 0 \ pmod {81} [/ matemáticas].
Tenga en cuenta que [math] f (x) = (x-1) (x ^ 2–9x-9) [/ math], y que [math] x ^ 2–9x-9 [/ math] es irreducible sobre [math ] \ mathbb Z [/ math].
Para resolver la primera congruencia, primero tenga en cuenta que [matemáticas] 4 (x ^ 2–9x-9) \ equiv 4 (x ^ 2 + x + 1) = (2x + 1) ^ 2 + 3 \ pmod {5} [ /matemáticas]. Dado que [matemáticas] X ^ 2 \ equiv 2 \ pmod {5} [/ matemáticas] no tiene solución, ni la congruencia [matemáticas] 4 (x ^ 2–9x-9) \ equiv 0 \ pmod {5} [/ matemáticas].
- ¿Cuáles son los puntos críticos de {(1 + 1 / a) (1 + 1 / b)} ^ (1/2), dado a + b = const.?
- En la ecuación [matemáticas] 2n ^ 3 + 3n ^ 2 = 500,000 [/ matemáticas], ¿a qué equivale [matemáticas] n [/ matemáticas]?
- Cómo demostrar que no existen enteros positivos [matemática] a, b, c [/ matemática] y [matemática] n [/ matemática] tal que [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 = 2 ^ n abc
- ¿Cómo podemos demostrar que cada número entero (mayor que 1) tiene la forma [matemática] \ frac {2 ^ a (2 ^ b-1) -3f} {3 ^ d} [/ matemática]?
- ¿Cómo se puede probar que para cualquier [matemática] a, a> 1 [/ matemática] real para la secuencia [matemática] u_n [/ matemática] definida por [matemática] u_ {n + 1} = \ sqrt [a] {a \ times u_n} [/ math] that [math] \ lim_ {n \ to \ infty} u_n = \ sqrt [a-1] {a} [/ math]?
Por lo tanto, [math] f (x) \ equiv 0 \ pmod {5} [/ math] si y solo si [math] x \ equiv 1 \ pmod {5} \ ldots (1) [/ math]
Antes de resolver la segunda congruencia, deducimos de la factorización [matemáticas] x ^ 2–9x-9 = (x-1) (x-8) -17 [/ matemáticas] que
[matemáticas] \ gcd (x-1, x ^ 2–9x-9) = \ gcd (x-1,17) [/ matemáticas]
no es un múltiplo de [matemáticas] 3 [/ matemáticas].
Entonces, si [matemática] 81 \ mid (x-1) (x ^ 2–9x-9) [/ matemática], entonces [matemática] 81 \ mid (x-1) [/ matemática] o [matemática] 81 \ mid (x ^ 2–9x-9) [/ math]. El primero de ellos da [math] x \ equiv 1 \ pmod {81} [/ math]. En el segundo caso, ya que [matemática] 3 \ mid (x ^ 2–9x – 9) [/ matemática], [matemática] 3 \ midx ^ 2 [/ matemática] y, por lo tanto, [matemática] 3 \ midx [ /matemáticas]. Pero entonces [matemáticas] x ^ 2–9x-9 = 9 \ left (\ big (\ frac {x} {3} \ big) ^ 2-x-1 \ right) [/ math], y entonces debemos tener [matemáticas] 9 \ mid (x_1 ^ 2–3x_1–1) [/ matemáticas], donde [matemáticas] x = 3x_1 [/ matemáticas].
Ahora si [matemática] 3 \ mid x_1 [/ matemática], entonces [matemática] 9 \ mid (x_1 ^ 2–3x_1) [/ matemática], y así [matemática] 9 \ nmid (x_1 ^ 2–3x_1–1) [/matemáticas].
Si [math] 3 \ nmid x_1 [/ math], entonces [math] 3 \ mid (x_1 ^ 2–1) [/ math], y así [math] 3 \ mid (x_1 ^ 2-3x_1-1) [ /matemáticas]. La forma más fácil de encontrar [matemáticas] x_1 [/ matemáticas] en este caso de modo que [matemáticas] 9 \ mid (x_1 ^ 2–3x_1–1) [/ matemáticas] es probar [matemáticas] x_1 \ en \ {\ pm 1, \ pm 2, \ pm 4 \} [/ matemáticas]. Observamos que [matemática] x_1 = -2 [/ matemática] y [matemática] x_1 = -4 [/ matemática] son las únicas soluciones, correspondientes a [matemática] x \ equiv 15 \ pmod {81} [/ matemática] y [matemáticas] x \ equiv 21 \ pmod {81} [/ matemáticas].
También podríamos haber llegado a estas soluciones a través del lema de Hensel.
Por lo tanto, [math] f (x) \ equiv 0 \ pmod {81} [/ math] si y solo si [math] x \ equiv 1, 15, \, \ text {or} \, 21 \ pmod {81} \ ldots (2) [/ math]
De la ecuación [math] (1) [/ math] y la ecuación [math] (2) [/ math], [math] x \ equiv 1 \ pmod {405} [/ math] es una solución obvia. Los otros dos se obtienen resolviendo simultáneamente [matemáticas] x \ equiv 1 \ pmod {5}, x \ equiv 15 \ pmod {81} [/ matemáticas] y [matemáticas] x \ equiv 1 \ pmod {5}, x \ equiv 21 \ pmod {81} [/ math]. Para el primero de ellos, 1 [matemática] 5 + 81 = 96 [/ matemática] funciona, y para el segundo de [matemática] 21 [/ matemática] funciona.
El conjunto de soluciones para la congruencia [matemáticas] f (x) \ equiv 0 \ pmod {405} [/ matemáticas] es [matemáticas] x \ equiv 1, 21, \, \ text {o} \, 96 \ pmod { 405}. [/ Math] [math] \ blacksquare [/ math]