En la ecuación [matemáticas] 2n ^ 3 + 3n ^ 2 = 500,000 [/ matemáticas], ¿a qué equivale [matemáticas] n [/ matemáticas]?

Answer 1

Editar: Gracias a John Calligy por explicarme cómo poner aquí las fórmulas. También acabo de ver que alguien reescribió mi prueba (y me dio crédito por lo que les agradezco (y agregué un caso que olvidé, a saber, 4 = 1 + 3)). Pero en aras de la práctica, he reescrito mi respuesta con la fórmula.

Respuesta: como publicaste, esta fue una pregunta de examen. Por lo tanto, permítame suponer que no puede usar una calculadora o cualquier forma de dispositivo de trazado gráfico ni una computadora (Esto hace que la solución general para una ecuación cúbica como puede encontrarla en Wikipedia (función cúbica) no sea una opción) .

Comencemos (solo calcularé la solución real aquí, ya que las imaginarias son bastante poco prácticas y probablemente tampoco se soliciten):
Primero, factor primo 500,000:
[matemáticas] 2n ^ {3} + 3n ^ {2} = 2 ^ {5} 5 ^ {6} [/ matemáticas]
A continuación, reorganice el lado izquierdo para obtener:
[matemáticas] n ^ {2} (2n + 3) = 2 ^ {5} 5 ^ {6} [/ matemáticas]
Como el lado izquierdo es un producto, usted sabe que cada uno de los términos debe estar compuesto por un número de [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y un número de [matemáticas] 5 [/ matemáticas] multiplicado por El uno al otro. Por lo tanto, puede decir que [matemática] n = 2 ^ {x} 5 ^ {y} [/ matemática] con [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] desconocida. Rellene esto:
[matemáticas] 2 ^ {2x} 5 ^ {2y} (2 ^ {x + 1} 5 ^ y + 3) = 2 ^ {5} 5 ^ {6} [/ matemáticas]
Como ya dije, ambos factores deberían ser una combinación de 2 y 5 multiplicados entre sí. El siguiente paso es encontrar cómo puedes obtener [matemáticas] 2 ^ {x + 1} 5 ^ y + 3 = 2 ^ {i} 5 ^ {j} [/ matemáticas] con [matemáticas] i [/ matemáticas] y [math] j [/ math] desconocido. Se encuentra fácilmente que las potencias negativas no son posibles y que para las positivas, las únicas potencias con una diferencia de tres son: [matemáticas] 2 ^ {0} 5 ^ {0} + 3 = 2 ^ {2} 5 ^ {0} [/ matemáticas], [matemáticas] 2 ^ {1} 5 ^ {0} + 3 = 2 ^ {0} 5 ^ {1} [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 ^ {0} 5 ^ { 3} + 3 = 2 ^ {7} 5 ^ {0} [/ matemáticas]
Por lo tanto, podemos intentar sustituir todas estas expresiones.
El primero te da [matemáticas] x = -1, y = 0 [/ matemáticas], mira ([matemáticas] 2 ^ {x + 1} 5 ^ y + 3 = 2 ^ {0} 5 ^ {0} + 3 [/ matemáticas]). Esto claramente no forma una solución.
El segundo te da [matemáticas] x = 0, y = 0 [/ matemáticas], mira ([matemáticas] 2 ^ {x + 1} 5 ^ y + 3 = 2 ^ {1} 5 ^ {0} + 3 [/matemáticas]). Esto claramente no forma una solución también.
Entonces intentemos con la tercera opción: Esto da [matemática] x = -1 [/ matemática] y [matemática] y = 3 [/ matemática], vea ([matemática] 2 ^ {x + 1} 5 ^ y + 3 = 2 ^ {0} 5 ^ {3} + 3 [/ matemáticas]). Al completar estos valores de [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] para la solución se obtiene:
[matemáticas] 2 ^ {2x} 5 ^ {2y} (2 ^ {x + 1} 5 ^ y + 3) [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2 ^ {- 2} 5 ^ {6} (2 ^ {0} 5 ^ 3 + 3) [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2 ^ {- 2} 5 ^ {6} 2 ^ {7} [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2 ^ {5} 5 ^ {6} [/ matemáticas]
que es exactamente lo que queríamos
Ahora nos descansa para calcular el valor de n. Para los valores dados de x e y esto da:
[matemáticas] n = 2 ^ {- 1} 5 ^ {3} = \ frac {125} {2} = 62.5 [/ matemáticas]

Creo que esta es una solución bastante buena para el problema planteado y probablemente más de lo que estaba buscando en lugar de lo obvio: póngalo en una computadora.

Answer 2

Como suele ser el caso, solo tiene que ver el cambio correcto de las variables y puede encontrar una solución en su cabeza. (¡Cómo se puede ver el cambio correcto de variables sin conocer la solución de antemano es otra cuestión completamente diferente!)

Deje que [matemáticas] k = 2 ^ 4 n [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] 2n ^ 3 + 3n ^ 2 = 5 \ veces 10 ^ 5 [/ matemáticas] se convierte en

[matemáticas] \ frac {k ^ 3} {2 ^ {11}} + 3 \ frac {k ^ 2} {2 ^ 8} = 5 \ por 10 ^ 5 [/ matemáticas].

Multiplicar por [matemáticas] 2 ^ {11} [/ matemáticas] da:

[matemáticas] k ^ 3 + 24k ^ 2 = 2 ^ {10} \ veces 10 ^ 6 [/ matemáticas]

Factorizar [matemáticas] k ^ 2 [/ matemáticas] nos permite escribir:

[matemáticas] (k +24) k ^ 2 = (1000 + 24) \ veces 1000 ^ 2 [/ matemáticas]

Entonces, inmediatamente vemos que [math] k = 1000 [/ math] hace el truco. Como [math] n = \ frac k {2 ^ 4} [/ math], esto nos da:

[matemática] n = \ frac {1000} {2 ^ 4} = \ frac {125} 2 [/ matemática].

Para encontrar las raíces restantes, continuaremos trabajando con [math] k [/ math].

[matemáticas] \ frac {k ^ 3 + 24k ^ 2 – 2 ^ {10} \ veces 10 ^ 6} {k-1000} = k ^ 2 + 2 ^ {10} k + 2 ^ {10} \ cdot 10 ^ 3 [/ matemáticas]

Entonces debemos resolver la cuadrática:

[matemáticas] k ^ 2 + 2 ^ {10} k + 2 ^ {10} \ cdot 10 ^ 3 = 0 [/ matemáticas]

Completando el cuadrado da:

[matemáticas] k ^ 2 + 2 ^ {10} k + 2 ^ {18} = 2 ^ {18} -2 ^ {10} \ cdot 10 ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ izquierda (k + 2 ^ {9} \ derecha) ^ 2 = 2 ^ {10} \ izquierda (256 – 10 ^ 3 \ derecha) [/ matemáticas]

[matemáticas] k + 2 ^ {9} = \ pm 2 ^ {5} \ sqrt {-744} [/ matemáticas]

[matemáticas] k = – 2 ^ {9} \ pm 2 ^ {6} i \ sqrt {186} [/ matemáticas]

Como [math] n = \ frac k {2 ^ 4} [/ math], obtenemos:

[matemáticas] n = – 2 ^ {5} \ pm 2 ^ {2} i \ sqrt {186} [/ matemáticas]

[matemáticas] n = – 32 \ pm 4i \ sqrt {186} [/ matemáticas]

Answer 3

Por lo tanto, debe factorizar ambos lados de la ecuación para tener la siguiente forma de la ecuación:
[matemáticas] n ^ 2 \ cdot (2n + 3) = 2 ^ 5 \ cdot 5 ^ 6 [/ matemáticas]
Ahora debe darse cuenta de que tanto [math] n [/ math] como [math] 2n + 3 [/ math] son ​​productos de 2s y 5s.
Por ejemplo, primero puede escribir [matemáticas] n = 2 ^ {x} \ cdot 5 ^ {y} [/ matemáticas]
Eso te da: [matemáticas] 2 ^ {2x} \ cdot 5 ^ {2y} \ cdot (2 ^ {x + 1} \ cdot 5 ^ y + 3) = 2 ^ 5 \ cdot 5 ^ 6 [/ matemáticas]
y
[matemáticas] (2 ^ {x + 1} \ cdot 5 ^ y + 3) = 2 ^ {5-2x} \ cdot 5 ^ {6-2y} [/ matemáticas]
El miembro izquierdo también tiene que ser una combinación de 2s y 5s.
Así que estamos buscando 2 pares ordenados de números [matemática] (i_1, j_1) [/ matemática] y [matemática] (i_2, j_2) [/ matemática] tal que [matemática] 2 ^ {i_1} \ cdot 5 ^ {j_1} = 2 ^ {i_2} \ cdot 5 ^ {j_2} +3 [/ math]
En el rango que nos interesa, hay muy pocas soluciones: [matemáticas] 4 = 1 + 3 [/ matemáticas], [matemáticas] 5 = 2 + 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] 128 = 125 + 3 [/ matemáticas] respectivamente: [matemáticas] 2 ^ 2 \ cdot 5 ^ 0 = 2 ^ 0 \ cdot 5 ^ 0 + 3 [/ matemáticas], [matemáticas] 2 ^ 0 \ cdot 5 ^ 1 = 2 ^ 1 \ cdot 5 ^ 0 + 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 ^ 0 \ cdot5 ^ 3 = 2 ^ 7 \ cdot5 ^ 0 + 3 [/ matemáticas]
Puedes ver eso fácilmente haciendo una pequeña mesa.
Al sustituir las dos primeras respuestas no te da nada.
El último funciona y te da: [matemáticas] x = -1 [/ matemáticas] y [matemáticas] y = 3 [/ matemáticas]
Ahora puede calcular n: [matemáticas] n = 2 ^ {- 1} \ cdot 5 ^ 3 = \ frac {125} {2} = 62.5 [/ matemáticas]
Los créditos van a Tim De Coster , en su mayoría solo reescribí la prueba con látex.

Answer 4

Hasta ahora no se menciona 1) la solución general para ecuaciones cúbicas y 2) que hay 3 soluciones.

El cubico general es
[matemáticas] ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0 [/ matemáticas]

Aquí tienes a = 2, b = 3, c = 0 yd = -500,000.

La solucion es

[matemáticas] x_k = – \ frac {1} {3a} (b + u_kC + \ frac {\ Delta_0} {u_kC}) [/ matemáticas]

con [matemáticas] u_k = e ^ {i \ frac {2 \ pi} {3} (k-1)} [/ matemáticas] las tres raíces cúbicas de la unidad:

• [matemáticas] u_1 = 1 [/ matemáticas],
• [matemáticas] u_2 = \ frac {-1 + i \ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]
• [matemáticas] u_3 = \ frac {-1 – i \ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

y

[matemática] C = \ sqrt [3] \ frac {\ Delta_1 + \ sqrt {-27a ^ 2 \ Delta}} {2} [/ matemática]

y

[matemáticas] \ Delta_0 = b ^ 2 – 3ac, \ Delta_1 = 2b ^ 3 – 9abc + 27a ^ 2d [/ matemáticas]

y

[matemáticas] \ Delta = 18abcd – 4b ^ 3d + b ^ 2c ^ 2 – 4ac ^ 3 -27a ^ 2d ^ 2 [/ matemáticas]

y todas las raíces cuadradas y raíces cúbicas incluyen todas las raíces.

O puede usar Wolfram Alpha y obtener las tres soluciones:

• [matemáticas] 62.5 [/ matemáticas]
• [matemáticas] -32 – 4i \ sqrt {186} [/ matemáticas]
• [matemáticas] 4i (\ sqrt {186} + 8i) [/ matemáticas]

NOTA: Como Yassine Alouini señala en los comentarios, los dos últimos son conjugados entre sí. Por alguna razón, Wolfram Alpha los escribió en formatos ligeramente diferentes. Entonces, el último podría igualmente ser escrito

[matemáticas] -32 + 4i \ sqrt {186} [/ matemáticas]

Answer 5

Parece que hay una sustitución simple que se puede hacer para que sea mucho más fácil encontrar una solución. Observe que n² (2n + 3) es una expresión bastante desafortunada. Veamos qué sucede si cambiamos la constante al otro factor:

2n + 3 = k → n = (k-3) / 2.

Al sustituir k en la ecuación original se obtiene lo siguiente:
(k-3) (k-3) / 2² · k = 2⁵ · 5⁶ →
k (k-3) ² = 2⁷ · 5⁶

Esto es mucho más fácil de resolver por alguna razón, probablemente porque hemos cambiado la solución, en términos de k, a los enteros.

2⁷ = 128.
128-3 = 125 = 5³,
así k = 128 da LHS = 128 (5³) ² = 2⁷ · 5⁶ = RHS.

Ahora, n = (k-3) / 2 = 125/2.

Answer 6

Factoriza la ecuación como:
n² (3 + 2n) = 500,000
Entonces, como 3 + 2n es aproximadamente 2n para n grande, aproximamos 3 + 2n por 2n.

Por lo tanto, tenemos una igualdad aproximada de:
2n³ = 500000
Resolviendo para n tenemos:
n³ = 250000
Tome la raíz cúbica y obtenemos n = 62,63 si se redondea hacia abajo y hacia arriba, respectivamente.

Intente ingresar 62 y 63, encontrará que la respuesta de 500,000 está en algún punto intermedio. Si todo lo que necesita es un aproximado, tal vez solo tome 62.5.

Espero que esto haya ayudado.

PD: podrías ahorrar de la misma manera, solo tomaste el 2n³ desde el principio y sostienes que crece mucho más rápido que n² y lo dejaste caer en primer lugar.

Answer 7

Uno puede resolver esto por factorización, sin necesidad de muchos trucos especiales.

[matemáticas] 2n ^ 3 + 3n ^ 2-500000 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (2n-125) (n ^ 2 + 64n + 4000) = 0 [/ matemáticas]

En el siguiente paso, la factorización utiliza números imaginarios, pero sigue siendo tan válida como el primer paso.

[matemáticas] (2n-125) (- en + 4 \ sqrt {186} -32i) (en + 4 \ sqrt {186} + 32i) [/ matemáticas]

Ahora simplemente resolvemos para n. Obtenemos 1 solución real y 2 soluciones imaginarias.

[matemáticas] n = 62.5; n = \ frac {4 \ sqrt {186}} {i} -32; n = – \ frac {4 \ sqrt {186}} {i} -32 [/ math]

Answer 8

Por el argumento heurístico que describe Johnny Zhong, se puede ver que 62.5 debería ser una solución aproximada. Sin embargo, al verificar esto, quedará claro que 62.5 en realidad es una solución exacta.

Dado lo anterior, uno puede encontrar las otras dos soluciones dividiendo 2n³ + 3n² – 500,000 = 0 por n – 62.5 a través de la división sintética y resuelve el resultado cuadrático con la ecuación cuadrática.

Answer 9

Escriba el código en Matlab y ejecute:

sym n;
expr = 2 * n ^ 3 + 3 * n ^ 2 == 500000;
disp (resolver (expr, n));

Y aquí están los resultados:

125/2
186 ^ (1/2) * 4 * i – 32
– 186 ^ (1/2) * 4 * i – 32

La vida es corta, solo usa la computadora para resolverlo.

Answer 10

Use el método newton para descubrir la raíz real, se pueden encontrar las raíces restantes (debido a que la ecuación cúbica se puede reducir a una ecuación cuadrática).

f (n) = 2n ^ 3 + 3n ^ 2 -500000
Ahora f (62) = – 11812
f (63) = 12001
Desde aquí también puede adivinar que la raíz está entre 62 y 63 y estará más cerca de 62.5 debido a la distancia equi de f (62) yf (63).

Pero proceda a través del método de Newton,
Inicialmente supongamos que n = 62,
Después de la 1ra iteración,
n = 62.50401092
Después de la segunda iteración,
n = 62.50000025

Entonces, está claro que su primera raíz real está cerca de 62.5.

Entonces ahora divida f (n) en n-62.5,
y obtendrás 2 (n ^ 2 + 64 + 4000).

Las raíces de estas ecuaciones se pueden encontrar
1.) – 32-4i * sqrt (186)
2.) – 32 + 4i * sqrt (186)

Answer 11

Una forma simple es usar la iteración.
Una fórmula para esto sería:
n = Sqrt ((((500,000) / n) -3n) / 2)

Una manera fácil de hacer esto es usar una calculadora científica con un botón de respuesta,
escriba 80 y luego presione igual (80 está cerca de la raíz cúbica de 500000)
Luego escriba la parte derecha de la ecuación anterior reemplazando n con ans
presione igual varias veces hasta que obtenga una estimación del número de decimales que puede contener su calculadora.

Answer 12

(Peter, tienes un error en la fórmula para Δ , que me parece que el término que tienes para 4 (b ^ 3) debería ser 4 (b ^ 3) d ya que Δ debería tener las unidades de (x ^ 6) basado en los coeficientes. Personalmente uso una formulación diferente para el cúbico, por lo que estoy trabajando para tratar de averiguar qué estás haciendo, y al hacerlo, he encontrado el término 4 (b ^ 3) d.

OK, con este cambio, obtengo el mismo resultado, pero creo que mi formulación es un poco más fácil. Lo que llamas (C) y ( Δ (0) ) lo llamo (- 3 V) y (9 p). De hecho, utilizo una formulación diferente para el importante término de la tercera raíz, pero la única diferencia es que cambian los índices raíz.

V = – ⅓ C

Э = V + (p / V)

Я = V + Э

Б = V – Э

x (k) = -⅓ a + cos ([120 °] k) Я + i sen ([120 °] k) Б

Answer 13

Dado 2n³ + 3n² = 500,000
n ^ 2 (2n + 3) = 500000

Resolviendo
n = 125/2, -32-4i√186,4i (√186 + 8i)

Live Algebra Help

Answer 14

Por lo general, n se usa para el número natural, por lo que primero supuse que estaba buscando una solución entera. Sin embargo, para n = 63 el lado izquierdo es mayor que 500000 y para n = 62 menor que 500000.
Puede obtener la respuesta usando la fórmula de Cardano, debe ser 62,500000008749836 …

Answer 15

62,5

Estime que la respuesta es entre 50 y 100

sustituto 50 y 75 dicen

50 es demasiado bajo, 75 es demasiado alto

Prueba 65

561,925 demasiado alto

Prueba 60

442,800 demasiado bajo

Prueba 63

512,001 Demasiado alto

Intenta 62

488,188

Prueba 62.5

500,000 justo