Asumiré que el lector está familiarizado con las congruencias. Solo usaré el siguiente hecho básico sobre congruencias: el cuadrado de un número par es congruente con [math] 0 \ pmod {4} [/ math]; el cuadrado de un número impar es congruente con [math] 1 \ pmod {4} [/ math].
Volviendo al problema, ahora.
En aras de la contradicción, supongamos que hay soluciones a la ecuación. Deje que [math] (a, b, c, n) [/ math] sea una solución tal que [math] a + b + c [/ math] se minimice.
Observe que [matemáticas] 2 ^ n abc [/ matemáticas] es par. Por lo tanto, entre [matemáticas] a [/ matemáticas], [matemáticas] b [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas], 1 o los 3 deben ser pares.
- ¿Cómo podemos demostrar que cada número entero (mayor que 1) tiene la forma [matemática] \ frac {2 ^ a (2 ^ b-1) -3f} {3 ^ d} [/ matemática]?
- ¿Cómo se puede probar que para cualquier [matemática] a, a> 1 [/ matemática] real para la secuencia [matemática] u_n [/ matemática] definida por [matemática] u_ {n + 1} = \ sqrt [a] {a \ times u_n} [/ math] that [math] \ lim_ {n \ to \ infty} u_n = \ sqrt [a-1] {a} [/ math]?
- La función SOD (n) es la suma de divisores de un número entero n. Por ejemplo, SOD (24) = 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 = 35. La función CSOD (n) es la SOD acumulativa de un número entero n. ¿Cómo calculo CSOD (n)?
- Cómo demostrar que el único par de enteros positivos que satisface a + b = ab es (2,2)
- Se le dan enteros N y D. ¿Qué es un programa para encontrar N enteros positivos x1, xN de manera que la diferencia de su producto y su suma sea igual a la entrada D?
Pero entonces, [matemáticas] 2 ^ n abc [/ matemáticas] no es solo par: es divisible por 4, y por lo tanto debe ser el lado izquierdo. Si solo hay un número par entre [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática], entonces el lado izquierdo es congruente [matemática] 1 + 1 + 0 \ equiv 2 \ pmod {4} [/ math], por lo que no es divisible por 4.
Por lo tanto, debe ser que todos [matemáticas] a [/ matemáticas], [matemáticas] b [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas] son pares. Tenga en cuenta ahora que el 4-uple [matemáticas] (a ‘, b’, c ‘, n’) = (a / 2, b / 2, c / 2, n + 1) [/ matemáticas] también es una solución. Pero esto es una contradicción, ya que estábamos asumiendo que [math] (a, b, c, n) [/ math] es una solución que minimiza la suma [math] a + b + c [/ math].