¿Cuáles son los puntos críticos de {(1 + 1 / a) (1 + 1 / b)} ^ (1/2), dado a + b = const.?

Answer 1

Sea [math] f = \ sqrt {(1+ \ frac {1} {x}) (1+ \ frac {1} {y})} [/ math], dado [math] x + y = c [/ matemáticas].

Sustituir [matemáticas] y = cx [/ matemáticas]
[matemáticas] f = \ sqrt {(1+ \ frac {1} {x}) (1+ \ frac {1} {cx})} [/ matemáticas]
Cuadrando ambos lados
[matemáticas] f ^ 2 = (1+ \ frac {1} {x}) (1+ \ frac {1} {cx}) [/ matemáticas]
[matemáticas] f ^ 2 = 1+ \ frac {c + 1} {x (cx)}) [/ matemáticas]

Tomando derivada de ambos lados
[matemáticas] 2ff ‘= \ frac {(c + 1) (2x-c)} {x ^ 2 (cx) ^ 2} [/ matemáticas]

Los puntos críticos son aquellos donde [math] f ‘= 0 [/ math] o undefined. Esto va a pasar
Para [matemáticas] f ‘= 0 [/ matemáticas]
1. Cuando [matemáticas] c = -1 [/ matemáticas]
todos los puntos son puntos críticos ya que f es una función constante
2. Cuando [math] c \ neq -1 [/ math]
[matemáticas] 2x-c = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] x = \ frac {c} {2} [/ matemáticas] es el punto crítico

Para f ‘indefinido
1. [matemáticas] c \ neq -1 [/ matemáticas]
[matemática] x = 0, c, -1, c + 1 [/ matemática] son ​​los puntos críticos, ya que [matemática] x = 0, c [/ matemática] no están en el dominio, pueden ignorarse.