Sea [matemática] S (n) [/ matemática] la declaración: [matemática] 7 ^ {n} -2 ^ {n} [/ matemática] es divisible por [matemática] 5 [/ matemática]; [matemáticas] n \ geq {0} [/ matemáticas]
Paso básico: [matemática] S (0) [/ matemática]: [matemática] 7 ^ {(0)} – 2 ^ {(0)} = 0 [/ matemática], que es divisible por [matemática] 5 [/ matemáticas]
Paso inductivo:
Suponga que [matemática] S (k) [/ matemática] es verdadera, es decir, suponga que [matemática] 7 ^ {k} -2 ^ {k} [/ matemática] es divisible por [matemática] 5 [/ matemática]; [matemáticas] k \ geq {0} [/ matemáticas]
- ¿Cuál es la solución para -x ^ 3 + 10x ^ 2 -9 congruente (mod 405)?
- ¿Cuáles son los puntos críticos de {(1 + 1 / a) (1 + 1 / b)} ^ (1/2), dado a + b = const.?
- En la ecuación [matemáticas] 2n ^ 3 + 3n ^ 2 = 500,000 [/ matemáticas], ¿a qué equivale [matemáticas] n [/ matemáticas]?
- Cómo demostrar que no existen enteros positivos [matemática] a, b, c [/ matemática] y [matemática] n [/ matemática] tal que [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 = 2 ^ n abc
- ¿Cómo podemos demostrar que cada número entero (mayor que 1) tiene la forma [matemática] \ frac {2 ^ a (2 ^ b-1) -3f} {3 ^ d} [/ matemática]?
[matemáticas] \ hspace {62 mm} \ Flecha derecha 7 ^ {k} -2 ^ {k} = 5A [/ matemáticas]; [matemáticas] A \ in \ mathbb {N} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ hspace {62 mm} \ Rightarrow 7 ^ {k} = 5A + 2 ^ {k} [/ math]
[matemáticas] S (k + 1) [/ matemáticas]: [matemáticas] 7 ^ {k + 1} -2 ^ {k + 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ hspace {14 mm} = 7 \ cdot {7 ^ {k}} – 2 \ cdot {2 ^ {k}} [/ math]
[matemáticas] \ hspace {14 mm} = 7 \ cdot {\ big (5A + 2 ^ {k} \ big)} – 2 \ cdot {2 ^ {k}} [/ math]
[matemáticas] \ hspace {14 mm} = 35A + 7 \ cdot {2 ^ {k}} – 2 \ cdot {2 ^ {k}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ hspace {14 mm} = 35A + 5 \ cdot {2 ^ {k}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ hspace {14 mm} = 5 \ hspace {1 mm} \ big (7A + 2 ^ {k} \ big) [/ math], que es divisible por [math] 5 [/ math].
Entonces [math] S (k + 1) [/ math] es verdadero siempre que [math] S (k) [/ math] sea verdadero.
Por lo tanto, [matemáticas] 7 ^ {n} -2 ^ {n} [/ matemáticas] es divisible por [matemáticas] 5 [/ matemáticas]; [matemáticas] n \ geq {0} [/ matemáticas].