Cómo demostrar por inducción matemática que, para cualquier número entero no negativo [matemática] n [/ matemática], [matemática] 7 ^ n – 2 ^ n [/ matemática] es divisible por [matemática] 5 [/ matemática]

Sea [matemática] S (n) [/ matemática] la declaración: [matemática] 7 ^ {n} -2 ^ {n} [/ matemática] es divisible por [matemática] 5 [/ matemática]; [matemáticas] n \ geq {0} [/ matemáticas]

Paso básico: [matemática] S (0) [/ matemática]: [matemática] 7 ^ {(0)} – 2 ^ {(0)} = 0 [/ matemática], que es divisible por [matemática] 5 [/ matemáticas]

Paso inductivo:

Suponga que [matemática] S (k) [/ matemática] es verdadera, es decir, suponga que [matemática] 7 ^ {k} -2 ^ {k} [/ matemática] es divisible por [matemática] 5 [/ matemática]; [matemáticas] k \ geq {0} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {62 mm} \ Flecha derecha 7 ^ {k} -2 ^ {k} = 5A [/ matemáticas]; [matemáticas] A \ in \ mathbb {N} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {62 mm} \ Rightarrow 7 ^ {k} = 5A + 2 ^ {k} [/ math]

[matemáticas] S (k + 1) [/ matemáticas]: [matemáticas] 7 ^ {k + 1} -2 ^ {k + 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {14 mm} = 7 \ cdot {7 ^ {k}} – 2 \ cdot {2 ^ {k}} [/ math]

[matemáticas] \ hspace {14 mm} = 7 \ cdot {\ big (5A + 2 ^ {k} \ big)} – 2 \ cdot {2 ^ {k}} [/ math]

[matemáticas] \ hspace {14 mm} = 35A + 7 \ cdot {2 ^ {k}} – 2 \ cdot {2 ^ {k}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {14 mm} = 35A + 5 \ cdot {2 ^ {k}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {14 mm} = 5 \ hspace {1 mm} \ big (7A + 2 ^ {k} \ big) [/ math], que es divisible por [math] 5 [/ math].

Entonces [math] S (k + 1) [/ math] es verdadero siempre que [math] S (k) [/ math] sea verdadero.

Por lo tanto, [matemáticas] 7 ^ {n} -2 ^ {n} [/ matemáticas] es divisible por [matemáticas] 5 [/ matemáticas]; [matemáticas] n \ geq {0} [/ matemáticas].

Paso 1 verdadero para n = 1?
Sí 7 ^ 1 – 2 ^ 1 = 5
Paso 2
Si 7 ^ n-2 ^ n, entonces el valor de cada parte de la ecuación tiene el mismo resto cuando se divide por 5.
Ie 7 ^ n = 5a + k
Y 2 ^ n = 5b + k
Así
7 ^ (n + 1) = 35a + 7k
2 ^ (n + 1) = 10b + 2k
Es decir
7 ^ (n + 1) – 2 ^ (n + 1) =
(35a + 7k) – (10b + 2k) =
35a + 5k – 10b

Que es divisible por 5
QED

La afirmación parece ser cierta para n = 1. Ahora suponga que 5 divide 7 ^ n-2 ^ n.

[matemáticas] {7 ^ {n + 1}} – {2 ^ {n + 1}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 7 \ veces {7 ^ n} – 2 \ veces {2 ^ n} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 7 \ veces {7 ^ n} – 7 \ veces {2 ^ n} + 7 \ veces {2 ^ n} – 2 \ veces {2 ^ n} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 7 \ izquierda ({{7 ^ n} – {2 ^ n}} \ derecha) + 5 \ veces {2 ^ n} [/ matemáticas]

Ambos factores son divisibles por 5. HECHO.

Para n = 0, [matemática] (7 ^ 0 – 2 ^ 0) mod \, 5 = 0 [/ matemática] [Se cumple el caso base]

Ahora dejemos que [math] (7 ^ n – 2 ^ n) mod \, 5 = 0 [/ math] sea verdadero.
Considerando [matemáticas] f (n) = 7 ^ n – 2 ^ n [/ matemáticas]

Ahora para el término [matemáticas] (n + 1) [/ matemáticas], tenemos

[matemáticas] f (n + 1) = 7 ^ {n + 1} -2 ^ {n + 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica f (n + 1) = 7 * 7 ^ n-2 * 2 ^ n [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica f (n + 1) = 2 * 7 ^ n – 2 * 2 ^ n + 5 * 7 ^ n [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica f (n + 1) = 2 (7 ^ n-2 ^ n) + 5 * 7 ^ n [/ matemáticas]

Ahora, dado que [math] (7 ^ n-2 ^ n) mod \, 5 = 0 [/ math], por lo tanto, [math] 2 (7 ^ n-5 ^ n) mod \, 5 = 0 [/ math] y [math] (5 * 7 ^ n) mod \, 5 = 0 [/ math]. Entonces, su suma es divisible por 5.

Eso es [matemática] f (n + 1) mod /, 5 = 0 [/ matemática]

Así, por inducción matemática, hemos demostrado que
[matemática] f (n) mod /, 5 = 0 \ forall n \ geq0 [/ matemática] [matemática] \ implica f (n + 1) mod /, 5 = 0 \ forall n \ geq0 [/ matemática]

[Demostrado]

Saludos 🙂

Ha pasado mucho tiempo desde que probé mis pruebas por inducción, pero así es casi como funciona, según recuerdo.

Para el caso base n = 0, 1-1 = 0 es trivialmente divisible por 5.
Para n = 1, 7-2 = 5, que también es divisible por 5.
Suponiendo que para m> 1, 7 ^ m – 2 ^ m es divisible por 5, luego por inducción 7 ^ (m + 1) – 2 ^ (m + 1) = 7.7 ^ m – 2.2 ^ m = 5.7 ^ m + 2.7 ^ m – 2.2 ^ m = 5.7 ^ m + 2. (7 ^ m – 2 ^ m)
Ahora, ya que tanto 5.7 ^ m es divisible entre 5 y 2. (7 ^ m – 2 ^ m) es divisible entre 5 (desde nuestro supuesto anterior de que 7 ^ m – 2 ^ m es divisible entre 5), por lo tanto 7 ^ (m +1) – 2 ^ (m + 1) es divisible por 5.

Por lo tanto, para cualquier n> = 0, 7 ^ n – 2 ^ n es divisible por 5

Espero que tengas la respuesta

Saludos a 😉

[matemáticas] 7 (7 ^ n-2 ^ n) = 7 ^ {n + 1} -7 \ cdot 2 ^ n = [/ matemáticas] [matemáticas] (7 ^ {n + 1} -2 ^ {n + 1}) – 5 \ cdot 2 ^ n [/ matemáticas]