Cómo evaluar [matemáticas] \ sum_ {j = 0} ^ {p – 1} \ left (\ dfrac {j (j + 1)} {p} \ right) [/ math] donde [math] \ left (\ dfrac {j (j + 1)} {p} \ right) [/ math] denota el símbolo de leyenda

Answer 1

Suponiendo que [math] p [/ math] es primo y [math] p> 2 [/ math]. Módulo de trabajo [matemáticas] p [/ matemáticas] donde sea necesario, obtenemos,

[matemáticas] \ sum_ {j = 0} ^ {p – 1} \ left (\ dfrac {j (j + 1)} {p} \ right) [/ math] [matemáticas] = \ sum_ {j = 0} ^ {p – 1} \ left (\ dfrac {j ^ 2 + j} {p} \ right) [/ math]
[matemáticas] \ equiv \ sum_ {j = 0} ^ {p – 1} (j ^ 2 + j) ^ {\ frac {p – 1} {2}} [/ matemáticas] [matemáticas] \ equiv \ sum_ { j = 0} ^ {p – 1} \ sum_ {i = 0} ^ {\ frac {p – 1} {2}} {(p-1) / 2 \ elegir i} j ^ {i + \ frac { p – 1} {2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ equiv \ sum_ {i = 0} ^ {\ frac {p – 1} {2}} {(p-1) / 2 \ elegir i} \ sum_ {j = 0} ^ {p – 1} j ^ {i + \ frac {p – 1} {2}} [/ matemática] [matemática] \ equiv \ sum_ {j = 0} ^ {p – 1} j ^ {p – 1} [/ matemática] [ matemáticas] \ equiv p-1 \ equiv -1 [/ matemáticas]

Es posible que deba completar un paso arriba y lo dejaré como ejercicio. Muestra esa
[math] \ sum_ {j = 0} ^ {p – 1} j ^ n = 0 \ mod p [/ math] if [math] p – 1 \ nmid n [/ math]

Para [matemáticas] p = 2 [/ matemáticas], obtenemos,
[matemáticas] \ sum_ {j = 0} ^ {1} \ izquierda (\ dfrac {j (j + 1)} {2} \ derecha) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ left (\ dfrac {0} {2} \ right) + \ left (\ dfrac {2} {2} \ right) [/ math]
[matemáticas] = 0 [/ matemáticas]