¿Cuál es el determinante: [matemáticas] \ begin {vmatrix} 1 & a & a ^ 2 & a ^ 4 \\ 1 & b & b ^ 2 & b ^ 4 \\ 1 & c & c ^ 2 & c ^ 4 \ \ 1 & d & d ^ 2 & d ^ 4 \ end {vmatrix}? [/ Math]

Answer 1

Aquí hay una buena solución, basada en la respuesta de David Ash: considere en su lugar el polinomio en [matemáticas] x [/ matemáticas]

[Matemáticas] P (x) = \ det \ begin {pmatrix} 1 & x & x ^ 2 & x ^ 3 & x ^ 4 \\ 1 & a & a ^ 2 & a ^ 3 & a ^ 4 \\ 1 & b & b ^ 2 & b ^ 3 & b ^ 4 \\ 1 & c & c ^ 2 & c ^ 3 & c ^ 4 \ \ 1 & d & d ^ 2 & d ^ 3 & d ^ 4 \ end {pmatrix} [/ math].

Si usa la expansión de Laplace en la primera fila, notará que [matemática] P (x) [/ matemática] tiene grado [matemática] 4 [/ matemática]. Además, [matemática] P (a) = P (b) = P (c) = P (d) = 0 [/ matemática] porque conectar [matemática] x = a, b, c, d [/ matemática] crea dos filas iguales y el determinante desaparece.

Ahora, según las relaciones de Vieta, y recordando que los términos en los signos alternos de expansión de Laplace, el término en [matemáticas] x ^ 3 [/ matemáticas] es la suma de las raíces, entonces

[matemática] a + b + c + d = \ frac {\ det \ begin {pmatrix} 1 & a & a ^ 2 & a ^ 4 \\ 1 & b & b ^ 2 & b ^ 4 \\ 1 & c & c ^ 2 & c ^ 4 \ \ 1 & d & d ^ 2 & d ^ 4 \ end {pmatrix}} {\ det \ begin {pmatrix} 1 & a & a ^ 2 & a ^ 3 \\ 1 & b & b ^ 2 & b ^ 3 \\ 1 & c & c ^ 2 & c ^ 3 \\ 1 & d & d ^ 2 & d ^ 3 \ end {pmatrix}} [/ math]

Ahora podemos usar el determinante de Vandermonde y terminar el problema:

[matemática] \ det \ begin {pmatrix} 1 y a y a ^ 2 y a ^ 4 \\ 1 y b y b ^ 2 y b ^ 4 \\ 1 y c y c ^ 2 y c ^ 4 \\ 1 y d y d ^ 2 y d ^ 4 \ end {pmatrix} = (a + b + c + d) (da) (dc) (db) (ca) (cb) (ba) [/ math].

Answer 2

La respuesta debe ser claramente un polinomio en [matemáticas] a [/ matemáticas], [matemáticas] b [/ matemáticas], [matemáticas] c [/ matemáticas] y [matemáticas] d [/ matemáticas] con todos los términos de grado [ matemáticas] 7 [/ matemáticas]. Dado que el determinante desaparece si [matemática] a = b [/ matemática], [matemática] a = c [/ matemática], [matemática] a = d [/ matemática], [matemática] b = c [/ matemática], [ matemática] b = d [/ matemática] o [matemática] c = d [/ matemática], se deduce que [matemática] ab [/ matemática], [matemática] ac [/ matemática], [matemática] ad [/ matemática ], [math] bc [/ math], [math] bd [/ math] y [math] cd [/ math] dividen el polinomio determinante. Esto debe dejar un factor lineal que debe ser simétrico en [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática], [matemática] c [/ matemática] y [matemática] d [/ matemática], lo que implica debe ser un múltiplo de [matemáticas] a + b + c + d [/ matemáticas]. Por lo tanto, el determinante debe ser dado por [math] k (ab) (ac) (ad) (bc) (bd) [/ math] [math] (cd) (a + b + c + d) [/ math] para alguna constante [matemáticas] k [/ matemáticas]. Examinar el término [matemática] bc ^ 2d ^ 4 [/ matemática] en particular revelará que [matemática] k = 1 [/ matemática] y el resultado es [matemática] (ab) (ac) (ad) (bc) ( bd) [/ math] [math] (cd) (a + b + c + d) [/ math].

Answer 3

TL; versión DR:
El determinante 4D se evalúa como [math] (ab) (ac) (ad) (bc) [/ math] [math] (bd) (cd) (a + b + c + d) [/ math]

Expansión utilizando propiedades de determinante:
Advertencia: ¡No es tan elegante como el método de David Ash!

[matemáticas] \ begin {vmatrix} 1 & a & a ^ 2 & a ^ 4 \\ 1 & b & b ^ 2 & b ^ 4 \\ 1 & c & c ^ 2 & c ^ 4 \\ 1 & d & d ^ 2 & d ^ 4 \\ \ end {vmatrix} [/ math]

aplicar [matemáticas] R_2 \ rightarrow R_2-R_1, \; R_3 \ rightarrow R_3-R_1, \; R_4 \ rightarrow R_4-R_1 [/ math]

[matemáticas] \ begin {vmatrix} 1 & a & a ^ 2 & a ^ 4 \\ 0 & ba & b ^ 2-a ^ 2 & b ^ 4-a ^ 4 \\ 0 & ca & c ^ 2- a ^ 2 & c ^ 4-a ^ 4 \\ 0 & da & d ^ 2-a ^ 2 & d ^ 4-a ^ 4 \\ \ end {vmatrix} [/ math]

tomando [math] (ba), (ca), (da) [/ math] común de las filas [math] R_2, R_3, R_4 [/ math] y expandiendo el det a lo largo de [math] C_1 [/ math]

[matemáticas] (ba) (ca) (da) [/ matemáticas] [matemáticas] \ begin {vmatrix} 1 & b + a & b ^ 3 + b ^ 2a + ab ^ 2 + a ^ 3 \\ 1 & c + a & c ^ 3 + c ^ 2a + ca ^ 2 + a ^ 3 \\ 1 & d + a & d ^ 3 + d ^ 2a + da ^ 2 + a ^ 3 \ end {vmatrix} [/ math]

aplicar [matemática] R_2 \ rightarrow R_2-R_1, \; R_3 \ rightarrow R_3-R_1 [/ math]

[matemáticas] (ba) (ca) (da) [/ matemáticas] [matemáticas] \ begin {vmatrix} 1 & b + a & b ^ 3 + b ^ 2a + ab ^ 2 + a ^ 3 \\ 0 & cb & c ^ 3-b ^ 3 + c ^ 2a-b ^ 2a + ca ^ 2-ba ^ 2 \\ 0 & db & d ^ 3-b ^ 3 + d ^ 2a-b ^ 2a + da ^ 2- ba ^ 2 \ end {vmatrix} [/ math]

tomando [math] (cb), (db) [/ math] común de las filas [math] R_2, R_3 [/ math] y expandiendo el det a lo largo de [math] C_1 [/ math]

[matemáticas] (ba) (ca) (da) (cb) (db) [/ matemáticas] [matemáticas] \ begin {vmatrix} 1 & c ^ 2 + cb + b ^ 2 + ca + ba + a ^ 2 \ \ 1 & d ^ 2 + db + b ^ 2 + da + ba + a ^ 2 \ end {vmatrix} [/ math]

que evalúa a
[matemáticas] (ba) (ca) (da) (cb) (db) [/ matemáticas] [matemáticas] (d ^ 2-c ^ 2 + bd-dc + da-ca) [/ matemáticas]

tomando un último [math] (dc) [/ math] común y reorganizando para obtener la respuesta deseada como
[matemáticas] (ab) (ac) (ad) (bc) [/ matemáticas] [matemáticas] (bd) (cd) (a + b + c + d) [/ matemáticas]

Answer 4

Realmente, si vas a usar una herramienta en línea como Quora para esto, entonces también podrías usar una herramienta en línea como Wolfram Alpha:

Answer 5

Este es un caso especial de Determinante de Vandermonde. Espero que el siguiente enlace sea útil:

Determinante de Vandermonde