Cómo demostrar que el vector medio del gaussiano multivariado es [matemática] A \ mu + b [/ matemática] bajo la transformación [matemática] Ax + b [/ matemática]

Answer 1

Piénselo por componentes. Suponga que desea mostrar, wlog, que [math] \ mu_1 = \ mathbb {E} [X_1] [/ math]. Llame a su densidad normal multivariada [matemática] f (x_1, x_2, \ dots, x_n) [/ matemática]. Ahora tu tienes
[matemáticas] \ mathbb {E} [X_1] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ cdots \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 f \ text {d} x_1 \ cdots \ text {d} x_n [/ matemáticas]
donde he omitido los argumentos de la densidad para facilitar la lectura.
Observe ahora que la integral más interna es igual a [math] \ mu_1 \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x_1, x_2, \ dots, x_n) \ text {d} x_1 [/ math]
(esto es muy fácil de mostrar usando una transformación lineal, que preserva la normalidad de la articulación). Para los componentes 2 a n, el integrando es constante y la densidad se integra a 1 para cada componente. Póngalo todo junto, y ha mostrado su declaración para [math] \ mu_1 [/ math]. Pero no había nada especial sobre el primer componente (de ahí el wlog), por lo que la declaración para el vector sigue de inmediato.

Answer 2

De linealidad:

[matemática] E [Ax + \ mu] = AE [x] + \ mu [/ matemática]

[matemáticas] E [Ax + \ mu] = A \ mu + \ mu [/ matemáticas]

Lo que tiene sentido intuitivo, si cambia todo por b, entonces el promedio también aumenta. Lo mismo para los “escalares” (en la matriz A) que afectan a x.

Answer 3

Piensa en cómo se define la expectativa de un vector aleatorio.