Debería ser posible, pero es terriblemente complicado, hay muchos casos a considerar. Aquí hay un boceto de cómo abordarlo.
Primero, el problema es equivalente al que podemos usar enteros entre 0 yx = BA , inclusive, y cada subcuadrícula debe sumar n = N-4x . Entonces eso es lo que vamos a resolver, en función de n y x . También podemos suponer [matemática] x \ leq n [/ matemática] porque para [matemática] x> n [/ matemática] la respuesta es la misma que para [matemática] x = n [/ matemática].
Etiquetemos los números en nuestra cuadrícula de la siguiente manera:
a B C
def
ghi
- Considere la siguiente ecuación cuadrática, donde los cocientes se representan en un sistema numérico con base [math] r [/ math]. Si las raíces de la ecuación en la base [matemáticas] r [/ matemáticas] son [matemáticas] 5 [/ matemáticas] y [matemáticas] 8 [/ matemáticas], entonces ¿cuál es el valor de [matemáticas] r [/ matemáticas] ( verifique la descripción a continuación para la ecuación)?
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- Cómo demostrar que [matemáticas] f \ circ (g \ circ h) = (f \ circ g) \ circ h [/ math]
El truco es comenzar con la fila del medio: d, e, f . Una vez que decida qué hay en la fila central, la fila superior y la fila inferior son independientes y simétricas, por lo que puede contar las formas de completar la fila superior y luego tomar el cuadrado de ese número.
Sea C (n, x, d, e, f) el número de soluciones para todas las opciones posibles de d, e, f . Muchos de estos números están relacionados. En primer lugar, C (n, x, d, e, f) = C (ne, x, d, 0, f). En palabras: el valor e está presente en los cuatro cuadrados 2 × 2, por lo que realmente no importa. En cambio, podemos disminuir ny asumir que e es cero. Por lo tanto, es suficiente para:
- encontrar una fórmula de forma cerrada para C (n, x, d, 0, f)
- determine la fórmula de forma cerrada para el caso general como [math] \ sum_e C (ne, x, d, 0, f) [/ math].
(Tenga en cuenta que el segundo paso no es trivial: queremos una forma cerrada que pueda evaluarse en O (1), y ya la forma cerrada para C (ne, x, d, 0, f) será fea, por lo que encontrar un La fórmula O (1) para su suma será aún más fea).
Ahora podemos considerar dos casos separados: [matemática] d = f [/ matemática] o [matemática] d \ not = f [/ matemática]. Por simetría, en el segundo caso podemos suponer [math] d> f [/ math] y multiplicar el resultado por 2 al final.
En cualquier caso, ahora tenemos [math] d \ geq f [/ math]. Ahora podemos simplificar aún más: C (n, x, d, 0, f) = C (nf, x, df, 0,0). El razonamiento es el mismo que el anterior.
Ahora redujimos el problema original al siguiente: tenemos n, x, y una cuadrícula de 2 × 3 que se ve de la siguiente manera:
a B C
d 0 0
¿De cuántas maneras podemos elegir [matemáticas] a, b, c \ en [0, x] [/ matemáticas] para que a + b + d = b + c = n ?
Esto es razonablemente fácil de resolver: la respuesta es el número de opciones válidas para b , cada una de ellas determina a y c de manera única. Si consideramos que la respuesta es una función de n (con x una constante fija), la función primero crece linealmente, luego permanece constante, luego cae linealmente y finalmente permanece constantemente cero para siempre.
El cuadrado de esta función le indica el número de soluciones para
a B C
d 0 0
ghi
y ahora necesita tomar el caso d = 0 por separado como una cosa, el doble de la suma sobre todas las d válidas como otra cosa, juntar esas cosas, sumar sobre todas las opciones de f y sumar sobre todas las opciones de e . Actualmente estoy convencido de que cada una de esas sumas en realidad se puede evaluar en O (1), pero rápidamente se vuelve bastante fea debido al trabajo de casos.