¿Por qué se considera que la serie Fibonacci es tan hermosa?

Answer 1

No sé por qué es hermoso, pero sí sé que es el más interesante.
La famosa “RELACIÓN DE ORO” se puede derivar de esta serie.
Para obtener más información sobre la proporción áurea, lea esta respuesta mía:
¿Por qué es importante la proporción áurea?

Ahora que viene a la serie Fibonacci, prepárate para una respuesta muuuuuuuu

La secuencia de Fibonacci exhibe un cierto patrón numérico que se originó como la respuesta a un ejercicio en el primer texto de álgebra de la escuela secundaria. Este patrón resultó tener un interés e importancia mucho más allá de lo que su creador imaginó. Se puede usar para modelar o describir una increíble variedad de fenómenos, en matemáticas y ciencias, arte y naturaleza. Las ideas matemáticas a las que conduce la secuencia de Fibonacci, como la proporción áurea, las espirales y las curvas auto-similares, han sido apreciadas durante mucho tiempo por su encanto y belleza, pero nadie puede explicar realmente por qué se hacen eco tan claramente en el mundo del arte y naturaleza.
La historia comenzó en Pisa, Italia, en el año 1202. Leonardo Pisano Bigollo era un joven de unos veinte años, miembro de una importante familia comercial de Pisa. En sus viajes por todo el Medio Oriente, quedó cautivado por las ideas matemáticas que habían llegado al oeste desde la India a través de los países árabes. Cuando regresó a Pisa, publicó estas ideas en un libro sobre matemáticas llamado Liber Abaci , que se convirtió en un hito en Europa. Leonardo, que desde entonces se conoce como Fibonacci , se convirtió en el matemático más famoso de la Edad Media. Su libro fue un discurso sobre métodos matemáticos en el comercio, pero ahora se recuerda principalmente por dos contribuciones, una obviamente importante en ese momento y otra aparentemente insignificante.
El importante: llamó la atención de Europa sobre el sistema hindú para escribir números. Los comerciantes y eruditos europeos todavía se aferraban al uso de los antiguos números romanos; las matemáticas modernas habrían sido imposibles sin este cambio en el sistema hindú, que ahora llamamos notación árabe, ya que llegó al oeste a través de tierras árabes.
El otro: escondido en una lista de acertijos, Fibonacci planteó la siguiente pregunta:

Si se coloca un par de conejos en un área cerrada, ¿cuántos conejos nacerán allí si suponemos que cada mes un par de conejos produce otro par, y que los conejos comienzan a parir dos meses después de su nacimiento?

Esta pequeña pregunta aparentemente inocente tiene como respuesta una cierta secuencia de números, conocida ahora como la secuencia de Fibonacci , que ha resultado ser una de las más interesantes jamás escritas. Se ha redescubierto en una sorprendente variedad de formas, en ramas de las matemáticas mucho más allá de la simple aritmética. Su método de desarrollo ha llevado a aplicaciones de largo alcance en matemáticas y ciencias de la computación.
Pero aún más fascinante es la sorprendente aparición de los números de Fibonacci, y sus proporciones relativas, en arenas muy alejadas de la estructura lógica de las matemáticas: en la naturaleza y en el arte, en las teorías clásicas de belleza y proporción.
Considere un ejemplo elemental de crecimiento geométrico: reproducción asexual, como la de la ameba. Cada organismo se divide en dos después de un intervalo de tiempo de maduración característico de la especie. Este intervalo varía aleatoriamente pero dentro de un cierto rango de acuerdo con las condiciones externas, como la temperatura, la disponibilidad de nutrientes, etc. Podemos imaginar un modelo simplificado donde, en condiciones perfectas, todas las amebas se dividen después del mismo período de crecimiento.
Entonces, una amebas se convierte en dos, dos en 4, luego 8, 16, 32, y así sucesivamente.
Tenemos una secuencia de duplicación . Observe la fórmula recursiva:

• An = 2An

Por supuesto, esto conduce a un crecimiento exponencial , un patrón característico del crecimiento de la población.
Ahora en la situación del conejo Fibonacci, hay un factor de retraso; cada pareja requiere algo de tiempo para madurar. Entonces estamos asumiendo

• tiempo de maduración = 1 mes
• tiempo de gestación = 1 mes

Si intentara esto en su patio trasero, esto es lo que sucedería:
Ahora deje que la computadora dibuje algunas líneas más:
El patrón que vemos aquí es que cada cohorte o generación permanece como parte de la siguiente, y además, cada pareja de adultos contribuye con una pareja de bebés. El número de tales pares de bebés coincide con el número total de pares en la generación anterior. Simbólicamente

• fn = número de pares durante el mes n
• fn = fn-1 + fn-2

Entonces tenemos una fórmula recursiva donde cada generación se define en términos de las dos generaciones anteriores. Con este enfoque, podemos calcular sucesivamente fn para tantas generaciones como queramos.
Entonces, esta secuencia de números 1,1,2,3,5,8,13,21, … y la forma recursiva de construirla hasta el infinito, es la solución al rompecabezas de Fibonacci. Pero lo que Fibonacci no pudo haber previsto fue la gran cantidad de aplicaciones que estos números y este método tendrían eventualmente. Su idea era más fértil que sus conejos. Solo en términos de matemática pura (teoría de números, geometría, etc.), el alcance de su idea era tan grande que se le dedicó toda una revista profesional: el Fibonacci Quarterly .
Ahora veamos otra situación razonablemente natural donde aparece la misma secuencia “misteriosamente”. Regrese 350 años al siglo XVII en Francia. Blaise Pascal es un joven francés, erudito que se debate entre su disfrute de la geometría y las matemáticas y su amor por la religión y la teología. En uno de sus momentos más mundanos es consultado por un amigo, un jugador profesional, el Chevalier de Mé ré , Antoine Gombaud. El Caballero le hace algunas preguntas a Pascal sobre las jugadas en dados y cartas, y sobre la división adecuada de las apuestas en un juego inacabado. La respuesta de Pascal es inventar una rama completamente nueva de las matemáticas, la teoría de la probabilidad . Esta teoría se ha convertido a lo largo de los años en una herramienta vital del siglo XX para la ciencia y las ciencias sociales. El trabajo de Pascal se apoya en gran medida en una colección de números ahora llamada Triángulo de Pascal , y representada así:
Esta configuración tiene muchas propiedades interesantes e importantes:

• Observe la simetría izquierda-derecha: es su propia imagen especular.
• Observe que en cada fila, el segundo número cuenta la fila.
• Observe que en cada fila, el 2do + 3ro cuenta el número de números sobre esa línea.

Hay infinitas variaciones sobre este tema.
Luego, observe lo que sucede cuando sumamos los números en cada fila: obtenemos nuestra secuencia de duplicación.
Ahora, por conveniencia visual, dibuje el triángulo justificado a la izquierda. Sume los números en las diferentes diagonales …
y obtenemos 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,. . . la secuencia de Fibonacci!
Fibonacci no podría haber sabido sobre esta conexión entre sus conejos y la teoría de la probabilidad: la teoría no existió hasta 400 años después.
Lo realmente interesante de la secuencia de Fibonacci es que su patrón de crecimiento de alguna manera misteriosa coincide con las fuerzas que controlan el crecimiento en una gran variedad de sistemas dinámicos naturales. De manera bastante análoga a la reproducción de conejos, consideremos el árbol genealógico de una abeja, por lo que consideramos a los antepasados ​​en lugar de a los descendientes. En un modelo reproductivo simplificado, una abeja macho nace de un óvulo no fertilizado y, por lo tanto, tiene un solo padre, mientras que una hembra nace de un óvulo fertilizado y tiene dos padres. Aquí está el árbol genealógico de una abeja macho típica:
Tenga en cuenta que esto se parece al gráfico de conejito, pero retrocede en el tiempo. Los antepasados ​​masculinos en cada generación forman una secuencia de Fibonacci, al igual que los antepasados ​​femeninos, al igual que el total. Se puede ver desde el árbol que la sociedad de las abejas está dominada por las mujeres.
Los ejemplos más famosos y hermosos de la aparición de la secuencia de Fibonacci en la naturaleza se encuentran en una variedad de árboles y flores, generalmente asociados con algún tipo de estructura en espiral. Por ejemplo, las hojas en el tallo de una flor o una rama de un árbol a menudo crecen en un patrón helicoidal, girando en espiral alrededor de la rama a medida que se forman nuevas hojas más lejos. Imagínese esto: tiene una rama en la mano. Centra tu atención en una hoja determinada y comienza a contar hacia afuera y hacia afuera. Cuente las hojas, y también cuente el número de vueltas alrededor de la rama, hasta que regrese a una posición que coincida con la hoja original pero más adelante en la rama. Ambos números serán números de Fibonacci.
Por ejemplo, para un peral habrá 8 hojas y 3 vueltas. Aquí hay algunos ejemplos más:
Ramas de la familia FibonacciÁrbolHojasVolucionesElm21Cereza32Beech31Poplar52Wilping willow83Pear83Almond138
Puedes dar un paseo por un parque y encontrar este patrón en plantas y arbustos con bastante facilidad.
Muchas flores ofrecen una hermosa confirmación de la mística de Fibonacci. Una margarita tiene un núcleo central que consiste en pequeñas florecillas dispuestas en espirales opuestas. Por lo general, hay 21 hacia la izquierda y 34 hacia la derecha. Un aster de montaña puede tener 13 espirales a la izquierda y 21 a la derecha. Los girasoles son el ejemplo más espectacular, típicamente tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro; o, en las variedades más finas, 89 y 144.
Los conos de pino también se construyen en forma de espiral, los pequeños tienen comúnmente 8 espirales en una dirección y 13 en la otra. La más interesante es la piña : construida a partir de hexágonos adyacentes, aparecen tres tipos de espirales en tres dimensiones. Hay 8 a la derecha, 13 a la izquierda y 21 verticalmente, un triple de Fibonacci.
¿Por qué debería ser esto? ¿Por qué la Madre Naturaleza ha encontrado una ventaja evolutiva al organizar las estructuras de las plantas en formas espirales que exhiben la secuencia de Fibonacci?
No tenemos una respuesta segura. En 1875, un matemático llamado Wiesner proporcionó una demostración matemática de que la disposición helicoidal de las hojas en una rama en proporciones de Fibonacci era una forma eficiente de reunir una cantidad máxima de luz solar con unas pocas hojas, afirmó, la mejor manera. Pero recientemente, un botánico de la Universidad de Cornell llamado Karl Niklas decidió probar esta hipótesis en su laboratorio; descubrió que casi cualquier disposición razonable de hojas tiene la misma capacidad de captación de luz solar. Así que todavía estamos en la oscuridad sobre la luz.
Pero si pensamos en términos de patrones de crecimiento natural, creo que podemos comenzar a comprender la presencia de espirales y la conexión entre espirales y la secuencia de Fibonacci.
Las espirales surgen de una propiedad de crecimiento llamada auto-similitud o escala: la tendencia a crecer en tamaño pero a mantener la misma forma. No todos los organismos crecen de esta manera auto similar. Hemos visto que las personas adultas, por ejemplo, no solo son bebés a gran escala: los bebés tienen cabezas más grandes, piernas más cortas y un torso más largo en relación con su tamaño. Pero si miramos, por ejemplo, el caparazón del nautilo con cámara, vemos un patrón de crecimiento diferente. A medida que el nautilus sobrepasa cada cámara, construye nuevas cámaras para sí mismo, siempre con la misma forma: si imagina un nautilus muy longevo, su caparazón daría vueltas y vueltas, cada vez más grande pero siempre se ve exactamente igual en todas las escalas.
Aquí es donde entra Fibonacci: podemos construir una especie de nautilo cuadrado comenzando con un cuadrado de tamaño 1 y construyendo sucesivamente en nuevas habitaciones cuyos tamaños corresponden a la secuencia de Fibonacci:
Recorriendo los centros de los cuadrados en orden con una curva suave, obtenemos la espiral nautilus = la espiral de girasol.
Esta es una espiral especial, una curva auto-similar que mantiene su forma en todas las escalas (si lo imagina en espiral para siempre). Se llama equiangular porque una línea radial desde el centro hace siempre el mismo ángulo que la curva. Esta curva era conocida por Arquímedes de la antigua Grecia, el mayor geómetra de la antigüedad, y tal vez de todos los tiempos.
Realmente deberíamos pensar en esta curva como en espiral hacia adentro para siempre, así como hacia afuera. Es dificil dibujar; puedes visualizar el agua girando alrededor de un pequeño agujero de drenaje, acercándose a medida que se mueve en espiral pero nunca cayendo. Este efecto es ilustrado por otro enigma clásico:

Cuatro errores están parados en las cuatro esquinas de un cuadrado. Están hambrientos (o solos) y en el mismo momento cada uno ve el insecto en la siguiente esquina y comienza a gatear hacia él. ¿Lo que pasa?

La imagen cuenta la historia. A medida que se arrastran uno hacia el otro, giran en espiral hacia el centro, formando siempre un cuadrado cada vez más pequeño, dando vueltas y vueltas para siempre. ¡Sin embargo, se alcanzan! Esto no es una paradoja porque la longitud de esta espiral es finita. Trazan la misma espiral equiangular.
Ahora, dado que todas estas espirales son autosimilares, se ven iguales en todas las escalas: la escala no importa. Lo que importa es la proporción: estas espirales tienen una proporción fija que determina su forma. Resulta que esta proporción es la misma que las proporciones generadas por entradas sucesivas en la secuencia de Fibonacci: 5: 3, 8: 5,13: 8, y así sucesivamente. Aquí está el cálculo:

Proporciones de Fibonacci

A medida que avanzamos en la secuencia, las proporciones de términos adyacentes comienzan a acercarse a un valor límite fijo de 1.618034. . . Esta es una relación muy famosa con una historia larga y honrada; la media dorada de Euclides y Aristóteles, la proporción divina de Leonardo da Vinci, considerada la más bella e importante de las cantidades. Este número tiene más propiedades tentadoras de las que puedas imaginar.
Por simple cálculo, vemos que si restamos 1 obtenemos .618. . cuál es su recíproco. Si sumamos 1 obtenemos 2.618. . . cual es su plaza
Usando el nombre tradicional para este número, la letra griega f (“phi”) podemos escribir simbólicamente:
Resolviendo esta ecuación cuadrática obtenemos
Aquí hay otras expresiones extrañas pero fascinantes que se pueden derivar:
, una cascada infinita de raíces cuadradas.
, una cascada infinita de fracciones.
Usando esta proporción áurea como base, podemos construir una fórmula explícita para los números de Fibonacci:
Fórmula para los números de Fibonacci:
Pero los griegos tenían un punto de vista más visual sobre la media dorada. Preguntaron: ¿cuál es la forma más natural y bien proporcionada de dividir una línea en 2 partes? Llamaron a esto una sección . Los griegos creían firmemente que el ideal debería coincidir con la proporción entre las partes con la de las partes al todo. Esto resulta en una proporción de exactamente “phi”

Answer 2

Todo tipo de crecimiento en el universo sigue a la serie f. Era conocida desde hace mucho tiempo por los indios. la relación de Goldan 2.168 es constante universal. Los indios llamados pap (sin) en mente también siguen la serie f, comenzando desde un solo deseo hasta un sueño muy grande, por ejemplo, sikndar quería gobernar el mundo entero.