¿Puedes probar / refutar esta prueba de divisibilidad general?

Answer 1

Supongamos que dividimos [matemáticas] N [/ matemáticas] entre [matemáticas] D [/ matemáticas]. Escriba [matemática] N = 10m + n [/ matemática], con [matemática] n \ in \ {0,1,2, \ ldots, 9 \} [/ matemática] y [matemática] D = 10a + b [/ matemática], con [matemática] b \ in \ {0,1,2, \ ldots, 9 \} [/ matemática]. Entonces la afirmación es que

[matemáticas] D \ mid N \ Longleftrightarrow D \ mid (bm-an) \ ldots (\ star) [/ math]

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La observación [matemáticas] aN + (bm-an) = mD [/ matemáticas] es fundamental para esta afirmación.

Si [math] D \ mid N [/ math], entonces [math] D \ mid (bm-an) [/ math]. Por el contrario, si [math] D \ mid (bm-an) [/ math], entonces [math] D \ mid aN [/ math]. De aquí podemos deducir que [matemática] D \ mid N [/ matemática] proporcionó [matemática] \ gcd (a, D) = \ gcd (a, b) = 1 [/ matemática].

Por lo tanto, la afirmación [math] (\ star) [/ math] se cumple solo cuando [math] \ gcd (a, b) = 1 [/ math].

Teorema.

• Si [math] D \ mid N [/ math], entonces [math] D \ mid (bm-an) [/ math].
• Si [math] \ gcd (a, b) = 1 [/ math] y [math] D \ mid (bm-an) [/ math], entonces [math] D \ mid N [/ math]. En consecuencia, [math] (\ star) [/ math] se mantiene.

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Para encontrar una instancia donde [math] (\ star) [/ math] no se mantiene ahora es sencillo. Considere [matemática] a = b = 2 [/ matemática] [matemática] ([/ matemática] así que [matemática] D = 22) [/ matemática] y elija [matemática] m [/ matemática], [matemática] n [/ matemática] tal que [matemática] D \ mid (bm-an) [/ matemática], que es lo mismo que [matemática] 11 \ mid (mn) [/ matemática]; digamos, [matemática] m = 12 [/ matemática], [matemática] n = 1 [/ matemática] [matemática] ([/ matemática] entonces [matemática] N = 121) [/ matemática]. Entonces [math] 22 \ nmid 121 [/ math] pero [math] 22 \ mid \ big ((12 \ cdot 2) – (1 \ cdot 2) \ big) [/ math].

Answer 2

Supongamos que A y B son dos números de la forma 10X + x y 10Y + y donde X e Y son números formados al eliminar el último dígito de A y B y x e y son números positivos de un dígito. por ejemplo, si A = 2978, entonces X = 297, x = 8.

Ahora supongo que el lector tiene conocimiento de ‘mod’ y sus propiedades.

Considere la expresión P = (X * yY * x) mod (10Y + y)
pags
= {(X mod B) (y mod B) – (Y mod B) (x mod B)}

ahora desde 10Y + y = B, entonces y mod B = -10Y mod B.

= {(X mod B) (- 10Y mod B) – (Ymod B) (x mod B)}
= {- 10 (X mod B) (Y mod B) – (Ymod B) (x mod B)}

ahora desde – (a mod b) = (-1 mod b) * (a mod b) = (- a mod b)

= – {(10X mod B) (Y mod B) – (x mod B) (Y mod B)}
= – ((10X + x) mod B) (Y mod B)
= – (A mod B) (Y mod B)
desde 10Y + y = B, entonces Y => Y mod B nunca puede ser 0
=> P es 0 solo si (A mod B) es 0

Por lo tanto, probado.

PD: Me llevó 1,5 horas descubrir el hecho de que {(a * cb * d) mod (c + d)} = 0 => (a + b) mod (c + d) = 0. Luego utilicé un procedimiento similar para la prueba anterior.