Cómo demostrar que si [matemática] a (1) = \ sqrt {2} [/ matemática], [matemática] a (n + 1) = \ sqrt {2 + a (n)} [/ matemática], entonces [ matemática] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} 2 ^ {n + 1} \ sqrt {2-a (n)} = \ pi [/ math]

Answer 1

Esto no es verdad.
Debido a que el último límite en cuestión implicaría que [math] \ sqrt {a_n} [/ math] converge a 2, entonces [math] a_n [/ math] converge a 4. Sin embargo, 4 no es un punto fijo para la iteración [math] ] a_ {n + 1} = \ sqrt {2+ \ sqrt {a_n}} [/ math]

Nota: la pregunta se edita (se corrige). La pregunta original tenía [math] a_ {n + 1} = \ sqrt {2+ \ sqrt {a_n}} [/ math]. La versión actual de la pregunta ([math] a_ {n + 1} = \ sqrt {2 + a_n} [/ math]) implica [math] a_n = 2 \ forall n [/ math] trivialmente. Sería interesante considerar el caso donde a (1) es algo distinto de 2

EDITAR: después de que la pregunta se haya corregido la segunda vez:
Defina [matemáticas] b_n = a_n / 2 [/ matemáticas]. Entonces [math] a_ {n + 1} = \ sqrt {2 + a_n} [/ math] implica [math] b_ {n + 1} = \ sqrt {[1 + b_n] / 2} [/ math].
Al darse cuenta de la similitud con [matemáticas] cos (\ theta / 2) = \ sqrt {(1 + cos \ theta) / 2} [/ matemáticas],
concluimos que [math] b_n = cos (\ theta) \ implica b_ {n + 1} = cos (\ theta / 2) [/ math].
Como sabemos [math] b_1 = 1 / \ sqrt {2} = cos (\ pi / 4) [/ math],
obtenemos [matemática] b_n = cos (\ pi / 2 ^ {n + 1}) [/ matemática] por inducción

Ahora [matemáticas] 2 ^ {n + 1} \ sqrt {2 – a_n} = 2 ^ {n + 1} \ sqrt {2 – 2 cos (\ pi / 2 ^ {n + 1})} [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2 ^ {n + 2} sin (\ pi / 2 ^ {n + 2}) [/ matemáticas].
El uso de la fórmula de límite estándar para (sin (x) / x) completa la prueba