Cómo demostrar que [matemáticas] \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {\ cdots}}}}} = 2 [/ matemáticas]

Answer 1

Defina una secuencia [math] \ {x_n, n \ in \ mathbb {N} \} [/ math] como

[matemáticas] x_1 = 1 [/ matemáticas]

y

[matemáticas] x_ {n + 1} = \ sqrt {2x_n} [/ matemáticas]

Es fácil observar que [math] x_ {n} [/ math] es una secuencia de términos positivos que aumenta monotónicamente.

Además, [math] \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {\ cdots}}}} = \ lim_ {n \ to \ infty} x_n [/ math] siempre que la expresión en LHS converja.

Afirmamos que [math] 0 <x_n <2 \; \ forall n \ in \ mathbb N…. (1) [/ math]

Claramente [math] x_n> 0 \; \ forall n \ in \ mathbb N [/ math]. Mostramos que [math] x_n <2 \; \ forall n \ in \ mathbb N [/ math] usando inducción en [math] n. [/ Math]

Para [matemáticas] n = 1, x_n = 1 \ implica x_n <2 [/ matemáticas]. Supongamos que para arbitrarias elegidas [math] n \ in \ mathbb {N}, x_n <2. [/ Math] De la relación de recurrencia tenemos

[matemáticas] x_ {n + 1} = \ sqrt {2x_n} <\ sqrt {2 \ times 2} = 2. [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] (1) [/ math] está probado.

A partir del teorema de convergencia monótono, la secuencia [math] \ {x_n, n \ in \ mathbb {N} \} [/ math] es convergente. Deje [math] \ lim_ {n \ to \ infty} x_n = y. [/ Math] Entonces la monotonicidad de [math] x_n [/ math] junto con (1) implica que

[matemáticas] 0 <y \ leq 2…. (2) [/ matemáticas]

También tenemos

[matemáticas] y = \ sqrt {2y}…. (3) [/ matemáticas]

Para resolver la ecuación anterior, debemos cuadrarla en ambos lados. Pero la cuadratura aumentará el grado y, por lo tanto, el número de soluciones. Al cuadrar obtendremos dos soluciones. Como [math] y [/ math] es el límite de una secuencia convergente, tendrá una solución única, una de las dos soluciones debe descartarse.

cuadrando y resolviendo obtenemos [matemática] y = 0 [/ matemática] y [matemática] y = 2. [/ matemática] Ahora de (2) concluimos que [matemática] y = 0 [/ matemática] debe descartarse y [ math] y = 2 [/ math] es el valor deseado.

Answer 2

[matemáticas] X = \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {…}}}}} [/ matemáticas]
Puede notar que la cuadratura X da
[matemáticas] X ^ {2} = [/ matemáticas] [matemáticas] 2 \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {…}}}} [/ matemáticas] = [matemáticas] 2 X [/ matemáticas ]
Por lo tanto :
[matemáticas] X ^ {2} = 2 X [/ matemáticas]
[matemática] X [/ matemática] es un valor distinto de cero, al dividir entre [matemática] X [/ matemática] en ambos lados, obtenemos: [matemática] X = 2 [/ matemática]

Ok, ahora más formalmente:

Consideremos la función f: [math] x \ mapsto \ sqrt {2x} [/ math]

[matemáticas] f \ circ f (x) = \ sqrt {2 \ sqrt {2x}} [/ matemáticas]

[matemáticas] f \ circ f \ circ f (x) = \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {2x}}} [/ matemáticas]

[matemáticas] f ^ {(n)} (x) = \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {… \ sqrt {2x}}}}}} [/ math]

Consideremos [matemáticas] U_ {n} = f ^ {(n)} (1) [/ matemáticas]

[math] U_ {n} [/ math] se puede expresar por:

[matemáticas] U_ {n} = 2 ^ {\ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} +… + \ frac {1} {2 ^ {n }}} = 2 ^ {1 – \ frac {1} {2 ^ {n}}} [/ math],

Al tomar el límite: [matemáticas] U_ {n} \ rightarrow 2 [/ matemáticas]

Este límite existe por dos razones:

1- [matemática] U_ {n} <2 [/ matemática] por cada entero n
2- [matemáticas] U_ {n} [/ matemáticas] es una serie creciente:
De hecho, por cada n: [matemáticas] U_ {n + 1} – U_ {n} = 2 ^ {1- \ frac {1} {2 ^ {n}}}. (2 ^ {\ frac {1} {2 ^ {n + 1}}} – 1)> 0 [/ matemáticas]

Answer 3

Aquí está la solución con una perspectiva diferente.
Mira estos ejemplos simples:
[matemáticas] \ sqrt {2} = 2 ^ {\ frac {1} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {2 \ sqrt {2}} = \ sqrt {2} \ cdot \ sqrt {\ sqrt {2}} = 2 ^ {\ frac {1} {2}} \ cdot 2 ^ {\ frac {1} {4}} = 2 ^ {\ frac {1} {2} + \ frac {1} {4}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {2}}} = \ sqrt {2} \ cdot \ sqrt {\ sqrt {2}} \ cdot \ sqrt {\ sqrt {\ sqrt {2}}} [/ math] [math] = 2 ^ {\ frac {1} {2}} \ cdot 2 ^ {\ frac {1} {4}} \ cdot 2 ^ {\ frac {1} {8}} [/ matemáticas] [matemáticas] = 2 ^ {\ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ vdots [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {\ cdots}}}} = 2 ^ {\ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1 } {8} + \ cdots} [/ math]

dónde
[matemáticas] \ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} + \ cdots [/ matemáticas]
es la suma de una serie geométrica decreciente infinita cuyo valor es [math] 1 [/ math].
Entonces la respuesta es
[matemáticas] 2 ^ 1 = 2 [/ matemáticas]

Answer 4

Para [matemática] 0

Answer 5

set [math] x = \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {\ cdots}}}} [/ math] luego
[matemáticas] x ^ 2 = 2 \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {\ cdots}}} [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2 = 2x [/ matemáticas]
entonces x = 2

Answer 6

Dejar,

Pero entonces:

. . . . .

Entonces:

. . . . .

. . . . .

Entonces, x = 0, x = 2.
Pero, claramente x = 0 no es una solución de la pregunta, por lo tanto, la respuesta es 2.

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EDITAR 1:

Dado que muchos de ustedes me exigían que demostrara que 0 no es una solución de esta secuencia de raíces anidadas,

Para, X [matemáticas] _ {0} [/ matemáticas]> 0, X [matemáticas] _ {n} [/ matemáticas] → 2
Para ver esto, tenga en cuenta que X [matemáticas] _ {n + 1} [/ matemáticas] = y (X [matemáticas] _ {n} [/ matemáticas]), donde la función y: x↦√2x es tal que x 2. Por lo tanto (X [matemática] _ {n} [/ matemática]) aumenta si 0 2 y converge a 2 en ambos casos.

Answer 7

Este método utilizado para encontrar la solución puede darle la respuesta en un par de pasos, lo que le ayudará a resolver esas preguntas en un minuto durante los diversos exámenes, como GRE, GMAT, CAT, etc.

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Necesitamos crear la ecuación que nos pueda ayudar a resolver los valores de encontrar el problema.

Primero, debemos considerar una variable adecuada que pueda representar el problema

[matemática] y = [/ matemática] [matemática] \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {\ cdots}}}} [/ matemática]

Luego, cuadra ambos lados y organiza la ecuación resultante en una forma cuadrática.

[matemáticas]
y ^ 2 = 2y [/ matemáticas]
[matemáticas] y ^ 2- 2y = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] y (y-2) = 0
[/matemáticas]

Resolver la ecuación te da dos posibles soluciones para y.

[matemáticas] y = 2 [/ matemáticas] o [matemáticas] y = 0 [/ matemáticas]

Como está claro que la variable y es positiva del problema dado, la respuesta final es [matemáticas] y = 2 [/ matemáticas]

Answer 8

La belleza de las series infinitas es que no debe preocuparse por dónde termina. Entonces, puedo escribir:

Deje que [math] x = \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {\ cdot \ cdot \ cdot}}}} [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto x = \ sqrt {2 \ cdot x} [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow x ^ 2 = 2 \ cdot x [/ math]

[matemática] \ Estrella derecha x = 2 [/ matemática]

Answer 9

Aquí hay una solución un poco más general. Para el problema de curret, deje que [math] a = 2 [/ math].

Suponer
[matemáticas] x = \ sqrt {a \ sqrt {a \ sqrt {a \ sqrt {a} …}}} [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 = a \ sqrt {a \ sqrt {a \ sqrt {a \ sqrt {a}…}}} [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 = hacha [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 – hacha [/ matemáticas]

hay dos soluciones [matemáticas] 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] a [/ matemáticas].

Answer 10

Es mejor usar una ecuación de recurrencia,

[matemáticas] x = \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {\ ldots}}} = \ sqrt {2 x} [/ matemáticas]

Si tomamos el cuadrado de ambos lados, obtenemos

[matemáticas] x ^ 2 = 2 x [/ matemáticas]

Así,

[matemáticas] x = 2 [/ matemáticas]

NOTA : descarto la otra solución, de 0, debido a la cordura general 🙂 Puedo sumergirme en eso si a alguien realmente le importa.

Answer 11

La prueba común de esto es cuadrar ambos lados y resolver la cuadrática, como muchos han hecho aquí. Sin embargo, cuando se trata de series o expresiones infinitas, debemos tener mucho cuidado con los supuestos que estamos haciendo. Hay una suposición clara en este método, que es que esta expresión infinita es convergente y tiene un valor específico.

Para ser más riguroso, la prueba que usa límites o incluso la que tiene los poderes de 2 que forman la conocida serie convergente es probablemente mejor.

Answer 12

Deje [math] x = \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ dots}}} [/ math]

Tenemos [matemáticas] x = \ sqrt {2x} [/ matemáticas] o [matemáticas] x ^ 2 = 2x [/ matemáticas]

que se resuelve en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas]

Pero como la expresión era claramente mayor que 0, podemos rechazar la posibilidad [matemática] x = 0 [/ matemática], dándonos [matemática] x = 2 [/ matemática].

Answer 13

Considere [math] f (x) = \ sqrt {2x} [/ math].

Solución sin logaritmos: [math] f ‘(x) = \ frac {1} {\ sqrt {2x}} \ lt 1, x \ gt \ frac {1} {2} [/ math]. Recuerdalo. Entonces, si x es lo suficientemente grande, la función se está comprimiendo, por lo que tiene un punto fijo. Nuestro mapa tiene 2 puntos fijos: x = 0 yx = 2 (solo marque [math] f (x) = x \ Leftrightarrow \ sqrt {2x} = x [/ math]. Observe que [math] f ‘(x) \ gt 0, x \ in \ R _ + [/ math]. Puedes probar que para cada x existe n: [math] f ^ {* n} (x) = f (f (\ dots f (x) \ puntos)) \ gt \ frac {1} {2} [/ math]. Entonces [math] \ forall x \ in (0; + \ infty) \ exist \ lim_ {n \ to \ infty} f ^ {* n } (x) = 2 [/ matemáticas].

Otra solución para [matemáticas] x \ gt 0 [/ matemáticas]: [matemáticas] f (x) = \ sqrt {2x} = 2 ^ {\ frac {1} {2} + \ frac {\ log_2 {x}} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] f ^ {* 2} (x) = f (f (x)) = 2 ^ {\ frac {1} {2} + \ frac {1} {2 ^ 2} + \ frac {\ log_2 { x}} {2 ^ 2}} [/ matemáticas]

…

[matemáticas] f ^ {* n} (x) = 2 ^ {\ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {1} {2 ^ k} + \ frac {\ log_2 {x}} {2 ^ n} } = 2 ^ {1– \ frac {1} {2 ^ {n + 1}} + \ frac {\ log_2 {x}} {2 ^ n}} [/ math]

Ahora está claro que [matemáticas] \ existe \ lim_ {n \ to \ infty} f ^ {* n} (x) = 2 ^ 1 = 2 [/ matemáticas]

Answer 14

Simplemente, [math] y = \ sqrt (2 \ sqrt (2 \ sqrt (2 \ sqrt (\ cdots)))) [/ math]. Entonces [math] y ^ 2 = 2 \ sqrt (2 \ sqrt (2 \ sqrt (\ cdots))) [/ math]. Por lo tanto, [math] \ frac {y ^ 2} {2} = \ sqrt (2 \ sqrt (2 \ sqrt (2 \ sqrt (\ cdots)))) = y [/ math]. Entonces [matemática] y = 0 [/ matemática] que se rechaza y [matemática] y = 2 [/ matemática].

Answer 15

Primero debe definir estas cosas como radicales anidados, fracciones continuas, etc. antes de poder probar algo sobre ellos.

Definir una secuencia [matemática] a_n, n \ ge 0 [/ matemática] por

[matemáticas] a_0 = \ sqrt 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] a_ {n + 1} = \ sqrt {2 a_n} [/ matemáticas]

Entonces deje que [math] a = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} a_n [/ math].

Primero tenemos que demostrar que converge. De lo contrario, cualquier cálculo que hagamos con él no tiene sentido.

La secuencia está aumentando: por inducción, para el caso base, [matemáticas] a_1 = \ sqrt {2 \ sqrt 2} = \ sqrt 2 \ sqrt {\ sqrt 2}> \ sqrt 2 [/ matemáticas] porque [matemáticas] \ sqrt {\ sqrt 2}> 1 [/ math]. El paso inductivo funciona básicamente de la misma manera.

También mostramos que 2 es un límite superior: si hay alguna [matemática] n [/ matemática] más pequeña que [matemática] a_n> 2 [/ matemática], entonces [matemática] a_ {n-1} = a_n ^ 2 / 2 [/ matemáticas]. Como [math] a_n> 2 [/ math], entonces [math] a_n ^ 2> 4 [/ math] y [math] a_ {n-1} = a_n ^ 2/2> 2 [/ math], contradicción de que [matemáticas] n [/ matemáticas] fue la más pequeña.

Esto muestra que es convergente.

Ahora, la definición de una secuencia convergente con límite a es: Para cada [matemática] \ varepsilon> 0 [/ matemática], hay un número natural [matemática] N [/ matemática] tal que, para toda [matemática] n \ ge N, | a − a_n | <\ varepsilon [/ math].

Negar esto (para una secuencia no convergente): Si hay un [math] \ varepsilon> 0 [/ math] tal que [math] a = 2 – \ varepsilon [/ math], entonces para todos [math] N [ / math] hay algunos [math] n \ ge N [/ math] tal que [math] | a − a_n | \ ge \ varepsilon [/ math].

Sin embargo, sabemos que la secuencia está aumentando, por lo que todos los términos posteriores no se acercan a su límite, contradicción, no existe tal [math] \ varepsilon> 0 [/ math].

Por lo tanto a = 2.

Answer 16

Si bien se han presentado pruebas, creo que hay algunas formalidades técnicas:

Queremos mostrar que la secuencia converge a 2:

0. Definimos una secuencia recursivamente: [matemáticas] a_0 = \ sqrt2, a_k: = \ sqrt (2 a_ {k-1}) [/ matemáticas],

1. Primero mostramos que la secuencia converge, o asumimos el límite, ya que existe el número de s. Esto se puede mostrar como lo hizo alguien arriba, al comparar o delimitar esta secuencia con una progresión geométrica con una proporción común menor que 1.
2. Ahora que sabemos que la secuencia converge, podemos pasar al límite: se nos pide formalmente que demostremos que:

[matemáticas] Lim_ {k \ rightarrow \ infty} a_k = 2 [/ matemáticas], pero tenemos, desde el # 0 arriba de eso,

[matemáticas] a_k = \ sqrt (2a_ {k-1}) [/ matemáticas].

Ahora, dado que a_k converge, para k suficientemente grande, [math] a_k, a_ {k-1} [/ math] están indefinidamente cerca (esto puede expresarse más formalmente en términos de N y épsilons), para que podamos reescribir lo anterior como:

[matemáticas] a_k = \ sqrt (2 (a_k – \ epsilon) \ rightarrow a_k ^ 2 = 2 (a_k + \ epsilon) [/ math].

Ahora podemos cuadrar ambos lados y obtener el resultado, dejando que épsilon vaya a 0, lo que podemos hacer cuando sabemos que la secuencia converge.

Answer 17

@ @

Answer 18

let [matemáticas] \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {…}}}} = n [/ matemáticas]

donde [matemáticas] (\ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {…}}}}) / n = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] n ^ 2 = 2 \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {…}}} [/ matemáticas]

[matemáticas] n ^ 2 = 2n [/ matemáticas]

ya que n no puede ser 0

[matemáticas] n = 2 [/ matemáticas]

Answer 19

Creo que hay una manera más rápida de responder aquí.

considere [math] x = \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {..}}}}} [/ math]
Al cuadrarlo en ambos lados se obtiene [matemáticas] x ^ 2 = 2 \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {..}}}} [/ matemáticas]
básicamente [matemáticas] x ^ 2 = 2 * x [/ matemáticas]
Esto da una ecuación cuadrática con dos soluciones x = {0,2}
Podemos evitar la solución x = 0 ya que este valor no es posible, por lo tanto, el único valor restante de x = 2.
Por lo tanto, [math] \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {..}}}}}} = 2 [/ math]

Answer 20

La expresión anterior se puede escribir como sqrt (2x) = x, ya que agregar un término más de raíz 2 a esta secuencia con una gran cantidad de términos (que tienden al infinito) no la cambia. Por lo tanto, al evaluar la ecuación dada obtenemos x (x-2) = 0, entonces x = 2 o x = 0. Pero dado que x = 0 no encaja como solución para la expresión anterior, ya que no hay ningún cero que se multiplique en ninguna parte, el valor de la expresión debe ser 2. Tenga en cuenta que esta secuencia se acerca al infinito y no tiene términos infinitos (lo que lo haría indefinido) de ahí La respuesta también es el límite de la expresión dada (lo que el valor de la expresión se acerca a medida que los términos se vuelven muy grandes).