¿Cuáles son las diferencias entre bijective, injective y surjective y cuáles son algunos ejemplos respectivos de cada uno?

Entonces, comencemos con la definición de una función y luego definamos estos atributos para la función. Considere 2 conjuntos (no es necesario que sean conjuntos de números) A y B. Una función [matemática] f: A \ mapsto B [/ matemática], es una regla que analiza cada elemento [matemático] a \ en A [/ math] y le asigna un elemento de [math] b \ in B [/ math]. Esto se escribe como [matemáticas] f (a) = b [/ matemáticas]. Ahora, considere los siguientes escenarios:

  • A cada elemento de A se le asigna un elemento diferente de B. Eso es [matemática] \ para todos x_1, x_2 \ en A, x_1 \ neq x_2 \ Longrightarrow f (x_1) \ neq f (x_2) [/ math]. Tal función se llama one-one o into o injective. Ejemplo: cualquier función lineal con valor real de [math] \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R} [/ math]. Debido a la propiedad inyectiva, es fácil ver que [matemáticas] | A | \ leq | B | [/matemáticas]. Ejemplo de una función que no es inyectiva es [math] f: \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R}, f (x) = x ^ 2 [/ math]
  • Ahora, veamos el conjunto B. Si resulta que la función f es tal que cada elemento de B es la imagen de al menos uno a en A, entonces se dice que la función está sobre o sobreyectiva. Ejemplo: [math] f: \ mathbb {R} \ mapsto [0, \ infty), f (x) = x ^ 2 [/mathfont>.Debido a la propiedad surjective, es fácil ver que [math] | A El | \ geq | B | [/matemáticas]. Ejemplo de una función que no es sobreyectiva es [math] f: \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R}, f (x) = x ^ 2 [/ math].
  • Una función que es a la vez inyectiva y sobreyectiva, se llama bijective. Ejemplo: [matemática] f: [0, \ infty) \ mapsto [0, \ infty), f (x) = x ^ 2 [/mathicsoft.Because of la propiedad biyectiva es fácil ver que [matemáticas] | A | = | B | [/matemáticas].
  • Como se puede extrapolar, ahora hay funciones que no son ni inyectivas ni sobreyectivas. Si lo pensó, ya hemos visto ese ejemplo [math] f: \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R}, f (x) = x ^ 2 [/ math].

Un resumen visual:

Examinemos una función, [math] f [/ math], de un conjunto o dominio, [math] D [/ math], a otro conjunto o rango, [math] R [/ math]. Es decir:

[matemáticas] f: D \ mapsto R [/ matemáticas]

La función es inyectiva, en, o una inyección , si no hay dos elementos en su dominio asignados al mismo elemento en el rango. Es decir:

[matemáticas] x_1 \ neq x_2 \ Flecha derecha f (x_1) \ neq f (x_2) [/ matemáticas]

La función es surjective, sobre o surjection , si cada elemento en el rango se asigna para ser algún elemento en el dominio. Es decir:

[matemáticas] \ para todos y \ en R, \ existe x \ en D: f (x) = y [/ matemáticas]

La función es biyectiva, uno a uno o biyección , si es tanto inyectiva como surjectiva. Equivalente: hay una inyección en ambas direcciones; o cada elemento en el dominio se asigna a un elemento único en el rango y viceversa. Es decir:

[matemática] \ para toda x \ en D, \ existe! y \ en R: f (x) = y [/ matemática]
y
[matemáticas] \ para todos y \ en R, \ existe! x \ en D: f (x) = y [/ matemáticas]

Usando el conjunto de meses en un año bisiesto como dominio, podemos construir ejemplos simples:
Inyección : Nombre del mes es una función inyectiva en el conjunto de nombres;
Surjection : Days-in-month es una función surjective en el conjunto {29,30,31};
Biyección : el número de mes es una biyección con el conjunto {1,2,3, …, 11,12}.

Lo siento, realmente no sé … Estaba leyendo algunas de las respuestas, y está completamente fuera de mi alcance. Perdón por la decepción (si te importa).

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