Entonces, comencemos con la definición de una función y luego definamos estos atributos para la función. Considere 2 conjuntos (no es necesario que sean conjuntos de números) A y B. Una función [matemática] f: A \ mapsto B [/ matemática], es una regla que analiza cada elemento [matemático] a \ en A [/ math] y le asigna un elemento de [math] b \ in B [/ math]. Esto se escribe como [matemáticas] f (a) = b [/ matemáticas]. Ahora, considere los siguientes escenarios:
- A cada elemento de A se le asigna un elemento diferente de B. Eso es [matemática] \ para todos x_1, x_2 \ en A, x_1 \ neq x_2 \ Longrightarrow f (x_1) \ neq f (x_2) [/ math]. Tal función se llama one-one o into o injective. Ejemplo: cualquier función lineal con valor real de [math] \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R} [/ math]. Debido a la propiedad inyectiva, es fácil ver que [matemáticas] | A | \ leq | B | [/matemáticas]. Ejemplo de una función que no es inyectiva es [math] f: \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R}, f (x) = x ^ 2 [/ math]
- Ahora, veamos el conjunto B. Si resulta que la función f es tal que cada elemento de B es la imagen de al menos uno a en A, entonces se dice que la función está sobre o sobreyectiva. Ejemplo: [math] f: \ mathbb {R} \ mapsto [0, \ infty), f (x) = x ^ 2 [/mathfont>.Debido a la propiedad surjective, es fácil ver que [math] | A El | \ geq | B | [/matemáticas]. Ejemplo de una función que no es sobreyectiva es [math] f: \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R}, f (x) = x ^ 2 [/ math].
- Una función que es a la vez inyectiva y sobreyectiva, se llama bijective. Ejemplo: [matemática] f: [0, \ infty) \ mapsto [0, \ infty), f (x) = x ^ 2 [/mathicsoft.Because of la propiedad biyectiva es fácil ver que [matemáticas] | A | = | B | [/matemáticas].
- Como se puede extrapolar, ahora hay funciones que no son ni inyectivas ni sobreyectivas. Si lo pensó, ya hemos visto ese ejemplo [math] f: \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R}, f (x) = x ^ 2 [/ math].
Un resumen visual:
- Deje que [matemáticas] a, b [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas] sean 3 enteros distintos. ¿Existe un polinomio [matemáticas] P [/ matemáticas] que satisfaga las ecuaciones [matemáticas] P (a) = b, P (b) = c, P (c) = a [/ matemáticas]?
- Cómo demostrar que si [matemática] a (1) = \ sqrt {2} [/ matemática], [matemática] a (n + 1) = \ sqrt {2 + a (n)} [/ matemática], entonces [ matemática] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} 2 ^ {n + 1} \ sqrt {2-a (n)} = \ pi [/ math]
- ¿Divide 3 (3k + 1) (3k + 2) (3k + 3)?
- Cómo demostrar que [matemáticas] \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {2 \ sqrt {\ cdots}}}}} = 2 [/ matemáticas]
- ¿Qué son los cuadrados mágicos?