¿Qué es un número entero distinto de cero entre 0 y 1 que no es una fracción?

Answer 1

No hay un número entero entre 0 y 1. Este hecho puede probarse utilizando el principio de ordenamiento correcto, que establece que cualquier conjunto de enteros positivos no vacío contiene un elemento mínimo.
Supongamos que el conjunto [math] S [/ math] es el conjunto que contiene todos los enteros positivos distintos de cero entre 0 y 1 y asume por contradicción que [math] S [/ math] no es vacío. Según el principio de buen orden [math] S [/ math] tiene un elemento mínimo, llámelo arbitrariamente [math] w [/ math].
Sabemos que [matemáticas] 0 <w <1 [/ matemáticas]. Podemos multiplicar todos los lados de esta ecuación por [matemáticas] w [/ matemáticas]. Así [matemáticas] 0 <w ^ 2 <w [/ matemáticas]. Sin embargo, esto implica [math] w ^ 2 \ en S [/ math] y que [math] w ^ 2 [/ math] es más pequeño que nuestro elemento mínimo de [math] S [/ math]. Contradicción. [matemáticas] S [/ matemáticas] debe estar vacío. Por lo tanto, no hay enteros entre 0 y 1

Answer 2

Suponga la existencia del conjunto vacío [math] \ emptyset [/ math]. Defina la función sucesora [math] s [/ math] como un mapa que toma un conjunto [math] X [/ math] y devuelve un conjunto que contiene [math] X [/ math] y todos los elementos de [math] X [ /matemáticas]. Es decir, [matemáticas] s (X) = X \ cup \ {X \} [/ matemáticas].

Defina el número natural cero como el conjunto vacío. Es decir, [math] 0: = \ emptyset [/ math]. Ahora el sucesor de cero es [math] 1: = s (0) = \ emptyset \ cup \ {\ emptyset \} = \ {\ emptyset \} [/ math]. El sucesor de uno es [matemáticas] 2: = s (1) = 1 \ cup \ {1 \} = \ {1,0 \} [/ matemáticas]. El resto de los números naturales se definen de manera similar. El conjunto de todos los números naturales se denota [math] \ mathbb {N} [/ math].

Ahora defina un par ordenado como el conjunto [math] \ langle a, b \ rangle: = \ {a, \ {a, b \} \} [/ math]. Defina el entero cero como la clase de equivalencia de pares ordenados donde ambos elementos son el mismo número natural. Es decir, [math] 0: = \ langle a, a \ rangle [/ math] por cada [math] a \ in \ mathbb {N} [/ math]. Del mismo modo, defina el número entero como [math] 1: = \ langle s (a), a \ rangle [/ math] para cada [math] a \ in \ mathbb {N} [/ math]. El entero menos uno se puede definir como la clase de equivalencia [matemática] \ langle a, s (a) \ rangle [/ math] para cada [math] a \ in \ mathbb {N} [/ math]. El resto de los enteros se pueden definir de manera similar, y denotamos el conjunto que contiene todos ellos [math] \ mathbb {Z} [/ math].

Después de definir la suma de manera razonable tanto para los números naturales como para los enteros, podemos definir una relación de orden en los enteros para que si [math] m, n \ in \ mathbb {Z} [/ math], tengamos [math ] n \ le m [/ math] si existe alguna [math] c \ in \ mathbb {N} [/ math] tal que [math] n + c = m [/ math]. Esto puede extenderse para convertirse en [matemática] n

A partir de estas definiciones, debe quedar claro que a partir del conjunto vacío y la función sucesora, y con la ayuda de los conceptos de un par ordenado y una relación de orden para enteros, no existe un entero [matemático] n [/ matemático] como que [matemáticas] 0

Ahora, hay números irracionales entre 0 y 1 (el recíproco de cualquier número irracional mayor que 1), pero por definición no son enteros. Los números racionales se construyen usando una idea similar con pares ordenados, de modo que los enteros también son racionales, de la misma manera que los números naturales también son enteros. El conjunto de números irracionales es el conjunto de números reales (que deben construirse de una manera conceptualmente diferente de los racionales o enteros) que no son racionales.

Otra interpretación de su pregunta es: “¿Qué es un número entero [matemática] n [/ matemática] tal que [matemática] 0

Realmente, la pregunta formulada en el momento de mi respuesta es pedir algo que, por definición, no existe.

Answer 3

Suponga que hay tal número entero.

[matemáticas] \ mathbb {Z} = \ {- 3, -2, -1,0,1,2,3 \} [/ matemáticas]

[matemática] \ mathbb {Z} \ setminus \ {0 \} = \ {- 3, -2, -1,1,2,3 \} [/ matemática]

Deje [matemáticas] A = (0,1) [/ matemáticas]

[matemáticas] A \ cap \ mathbb {Z} \ setminus \ {0 \} = \ emptyset [/ math]

No hay ninguno.

Answer 4

No hay un número entero entre 0 y 1, punto. Las fracciones no tienen nada que ver con esto.

Answer 5

Según algunas interpretaciones de “entero”, “suma infinita” y “fracción”:

[matemáticas] – \ sum_ {i = 1} ^ {\ infty} i [/ matemáticas]

pero la respuesta habitual sería

[matemáticas] \ nexistas n \ in \ Z: 0

Es decir, no existe un número entero entre cero y uno.

Answer 6

Esto no es necesariamente una respuesta, sino un comentario que me gustaría agregar. En los años 80 y 90, un matemático de renombre llamado Eugene Francis propuso esto, y supuestamente demostró que era cierto. Él era profesor en la Universidad de Puerto Rico mientras yo estudiaba allí, y fue un gran problema en esos días … Matemáticos y periodistas de todo el mundo vinieron a la universidad y lo demostró, y aparentemente la mayoría de la gente dijo que tenía razón. . No tengo todos los detalles, pero si realmente estás interesado en esto, puedes buscar en Google Eugene Francis y ver si obtienes información al respecto.