¿Cuáles son otras pruebas cortas, inteligentes y divertidas como la prueba de que [math] \ sqrt {2} [/ math] es irracional?

Answer 1

La prueba de Ivan Niven de la irracionalidad de [math] \ pi [/ math] es muy descarada. Así es como va …

Suponga que [math] \ pi = a / b [/ math], el cociente de 2 enteros positivos donde [math] b \ neq 0 [/ math]. Definir los siguientes polinomios.

[matemáticas] f (x) = \ dfrac {x ^ n (a-bx) ^ n} {n!} [/ matemáticas]

y

[matemáticas] F (x) = f (x) – f ^ {(2)} (x) + f ^ {(4)} (x) – \ cdots + (-1) ^ nf ^ {(2n)} x [/ matemáticas].

Ahora desde [matemáticas] n! f (x) [/ math] tiene coeficientes integrales y términos en [math] x [/ math] de grado no menor que [math] n [/ math], se deduce que [math] f (x) [/ math] y sus derivados tienen valores integrales para [matemática] x = 0 [/ matemática] y para [matemática] x = \ pi = a / b [/ matemática].

Ahora considere la derivada de la función [math] F ^ {\ prime} (x) \ sin x – F (x) \ cos x [/ math].

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d} {dx} (F ^ {\ prime} (x) \ sin x – F (x) \ cos x) = F (x) \ sin x + F ^ {\ prime \ primo} (x) \ sin x = f (x) \ sin x [/ math]

Obviamente entonces

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ {\ pi} f (x) \ sin x dx = [F ^ {\ prime} (x) \ sin x – F (x) \ cos x] _0 ^ {\ pi} = F (\ pi) + F (0) [/ matemáticas]

El lado derecho de la ecuación anterior es un número entero, ya que todas las derivadas de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] son ​​números enteros en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = \ pi [/ matemáticas]. Pero, para [matemática] 0 <x <\ pi [/ matemática], [matemática] 0 <x (a-bx) <\ pi a [/ matemática] y [matemática] 0 <\ sen x <1 [/ matemática ]

y por lo tanto,

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ {\ pi} f (x) \ sin x dx <\ pi \ dfrac {\ pi ^ na ^ n} {n!} [/ matemáticas].

El lado derecho de lo anterior es menor que [math] 1 [/ math] para cualquier arbitrario grande [math] n [/ math], y por lo tanto [math] F (0) + F (\ pi) <1 [/ matemáticas]. Llegamos a una contradicción, y por lo tanto [math] \ pi [/ math] debe ser irracional.

QED

Answer 2

Pitágoras (escuela secundaria)
Los griegos aparentemente obtuvieron gran parte de su conocimiento geométrico jugando con fichas (su versión de bloques). Por ejemplo, una demostración antigua de la prueba de Pitágoras fue tomar cualquier triángulo rectángulo y hacer 4 copias del mismo.
Estos 4 triángulos se pueden organizar en una gran forma cuadrada de las dos formas que se muestran a continuación.
Claramente, los lados de cada cuadrado grande son de igual longitud (a + b) y, por lo tanto, deben tener el mismo área. Además, tomados en conjunto, los 4 triángulos ocupan la misma área en cada cuadrado grande. Entonces, si restamos los triángulos, el área del cuadrado de color “C” debe ser igual a las áreas combinadas de los cuadrados de color “A” y “B”. Es decir, “área del cuadrado C” = “área del cuadrado A” + “área del cuadrado B”. Pero “C” es un cuadrado con lados de longitud “c” y “B” es un cuadrado con lados de longitud “b” y “A” es un cuadrado con lados de longitud “a”, entonces c2 = a2 + b2.
La cuestión clave a tener en cuenta aquí es que la “idea” para resolver este problema no es pensar en pruebas geométricas de dos columnas, sino comprender las implicaciones de los patrones que ves cuando juegas con fichas.
Aquí está otro.

Gauss (escuela primaria)
Carl Gauss es uno de los matemáticos más inteligentes que ha vivido. Hay una historia famosa sobre él en la lista aquí . Dice “en la escuela primaria, su maestro trató de ocupar a los alumnos haciéndolos sumar los enteros del 1 al 100. El joven Gauss produjo la respuesta correcta en segundos por un destello de comprensión matemática, para asombro de todos. Gauss se había dado cuenta de que La adición por pares de términos de extremos opuestos de la lista arrojó sumas intermedias idénticas: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, y así sucesivamente, para una suma total de 50 × 101 = 5050 ( ver aritmética serie y resumen ) “.
Es sorprendente que Gauss haya hecho esto. Aún así, alguien que jugó mucho con bloques probablemente podría hacer esto también. Considere el siguiente ejemplo: suponga que era un niño en la escuela primaria y le pidiera agregar números del 1 al 5. Ahora, en lugar de pensar en una serie de números como una serie de dígitos , un niño pequeño podría pensar en ellos como una escalera de bloques Por ejemplo, en la escalera de abajo, el número “1” está representado por el bloque único en el extremo de la escalera. el número “2” está representado por los dos bloques apilados verticalmente a su lado. “3” está representado por los 3 bloques apilados verticalmente, y así sucesivamente hasta 5. Tenga en cuenta que para las escaleras de este tipo, una serie de “n” pasos (“n” puede ser cualquier número) siempre será “n “ancho y” n “alto.
Ahora, suponga que copió la escalera de arriba y volcó una, como lo hacemos a continuación.
Ahora, junte las escaleras. Esto forma un rectángulo que mide 5 de alto y 6 (¡no 5!) De ancho.
La cantidad de bloques en un rectángulo es fácil de calcular, es solo el ancho por la altura o 6 x 5 = 30. Pero para obtener la cantidad de bloques en una sola escalera, debes dividir el área entre 2. Entonces, la suma de los dígitos del 1 al 5 es
5 * (5 + 1) / 2 = 5 * 6/2 = 15.
Si teníamos “n” números en lugar de “5”, entonces la fórmula general para sumar esta serie es:
n * (n + 1) / 2
Siempre que “n” sea un número entero mayor que 0.
La cuestión clave a tener en cuenta aquí es que la “idea” para resolver este problema es no pensar en “la adición por pares de términos de extremos opuestos de la lista arrojó sumas intermedias idénticas”. En cambio, es más útil pensar en formas que encajan entre sí que los números de una serie.

Answer 3

Teorema. Existen dos números irracionales positivos [matemática] \ alpha, \ beta [/ matemática] de tal manera que [matemática] \ alpha ^ \ beta [/ matemática] es un número racional.

Prueba. Considere el número [math] \ left (\ sqrt {3} \ right) ^ {\ sqrt {2}} [/ math]. O este número es racional o es irracional. Si es racional, entonces hemos terminado. Si es irracional, observe que [matemáticas] \ left [\ left (\ sqrt {3} \ right) ^ {\ sqrt {2}} \ right] ^ {\ sqrt {2}} = 3 [/ math] , lo cual es racional.

Esta prueba es breve y simple, pero también es bastante extraña: demuestra que existe una solución y presenta dos posibilidades, ¡pero no puede decirle qué posibilidad funciona!

Answer 4

Para demostrar que [matemáticas] \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {k = n} k = \ frac {n (n + 1)} {2} [/ matemáticas]

Deje que [matemáticas] S = \ sum_ {k = 1} ^ {k = n} k [/ matemáticas]

[matemáticas] \ begin {array} {ccccccccccc} S & = & 1 & + & 2 & + & 3 & + &… & + & n \\ S & = & n & + & n-1 & + & n-2 & + &… & + & 1 \\ \ hline2S & = & { n + 1} & + & {n + 1} & + & {n + 1} & + & … & + & n + 1 \ end {array} [/ math]

Estábamos sumando [matemáticas] n [/ matemáticas] por lo tanto, habría [matemáticas] n [/ matemáticas] muchas [matemáticas] ([/ matemáticas] [matemáticas] n + 1) [/ matemáticas]. Por lo tanto,

[matemáticas] 2S = n * (n + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] S = n * (n + 1) / 2 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] \ suma \ límites_ {k = 1} ^ {k = n} k = n * (n + 1) / 2 [/ matemáticas]

Answer 5

Aquí hay otro genial que tengo:
Deje [math] S = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ n}} [/ math]. Podemos escribir
[matemáticas] S = \ frac {1} {2 ^ 1} + \ frac {1} {2 ^ 2} +… [/ matemáticas]. Al multiplicar ambos lados por 2 tenemos:
[matemáticas] 2S = 1 + \ frac {1} {2 ^ 1} + \ frac {1} {2 ^ 2} +… [/ matemáticas]. ¡Ajá! [matemáticas] 2S = 1 + S [/ matemáticas] y, por lo tanto, [matemáticas] S = 1 [/ matemáticas].

Answer 6

La regla de L’Hôpital

Cuando haces cálculos, a menudo tienes que calcular límites como:
[matemáticas] \ lim_ {x \ a a} \ frac {f (x)} {g (x)} [/ matemáticas], y [matemáticas] \ lim_ {x \ a a} f (x) = \ lim_ { x \ a a} g (x) = 0 [/ matemáticas]

La regla de L’Hôpital dice que, aquí, tenemos:
[matemáticas] \ lim_ {x \ a a} \ frac {f (x)} {g (x)} = \ lim_ {x \ a a} \ frac {f ‘(x)} {g’ (x)} [/matemáticas]

La prueba es una prueba de una línea.
[matemáticas] \ lim_ {x \ a a} \ frac {f (x)} {g (x)} = [/ matemáticas] [matemáticas] \ lim_ {x \ a a} \ frac {f (x) – f (a)} {g (x) – g (a)} = [/ matemáticas] [matemáticas] \ lim_ {x \ a a} \ frac {f (x) – f (a)} {xa} * \ frac {xa} {g (x) – g (a)} = [/ matemáticas] [matemáticas] \ lim_ {x \ a a} \ frac {f ‘(x)} {g’ (x)} [/ matemáticas]

Me gusta mucho

Answer 7

Me gustan las pruebas basadas en imágenes, porque una imagen vale más que mil palabras.

¡Permítanme producir dos pruebas simples de 1000 palabras!

---

Teorema: la suma de todos los ángulos de un triángulo es igual a [matemática] 180 ^ \ circ [/ matemática].

Prueba:

---

Teorema: la cardinalidad del intervalo [matemática] (a, b) [/ matemática] es igual a la cardinalidad de [matemática] \ mathbb {R} [/ matemática] para dos números reales [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] tal que [matemática] a

Prueba: (haga clic para ampliar)

Answer 8

Bueno, la mayoría de nosotros sabemos que [math] \ sqrt {2} [/ math] es irracional. También es cierto que [matemática] 2 ^ {\ frac {1} {n}} [/ matemática] es irracional siempre que [matemática] n \ in \ mathbb {N} _ {> 2} [/ matemática]

[matemática] \ text {Teorema:} [/ matemática] Si [matemática] n [/ matemática] es un número natural mayor que [matemática] 2, [/ matemática] entonces [matemática] 2 ^ {\ frac {1} { n}} [/ math] es irracional.

[matemáticas] \ text {Prueba:} [/ matemáticas] Discutimos por contradicción. Supongamos que [math] n [/ math] es un número natural mayor que [math] 2 [/ math]. Supongamos, en aras de la contradicción, que [math] 2 ^ {\ frac {1} {n}} [/ math] no es irracional. Entonces debemos tener que [matemáticas] 2 ^ {\ frac {1} {n}} [/ matemáticas] un número racional. Como [math] 2 ^ {\ frac {1} {n}} [/ math] es positivo según la definición, existen enteros positivos [math] p [/ math] y [math] q [/ math] (si ambos fueron negativos, podríamos multiplicar tanto el numerador como el denominador por [matemáticas] -1 [/ matemáticas]) de modo que [matemáticas] 2 ^ {\ frac {1} {n}} = p / q. [/ matemáticas] Entonces tenemos [matemática] p ^ n / q ^ n = 2. [/ matemática] Dado que [matemática] q \ neq 0, [/ matemática] esto implicaría [matemática] p ^ n = 2q ^ n. [/ matemática] Por lo tanto, tener [matemática] p ^ n = q ^ n + q ^ n. [/ matemática] Pero según el último teorema de Fermat la ecuación [matemática] p ^ n = q ^ n + q ^ n [/ matemática] no puede ser válida enteros como [matemática] n> 2. [/ matemática] Esto es una contradicción. Por lo tanto, no podemos tener [math] 2 ^ {\ frac {1} {n}} [/ math] como un número racional si [math] n \ in \ mathbb {N} _ {> 2}. [/ Math] Por lo tanto Es irracional.

[matemáticas] \ Box [/ matemáticas]

Answer 9

Teorema. [Pons asinorum] Los ángulos base de un triángulo isósceles son congruentes.

Prueba. [Pappus de Alejandría] Considere un triángulo [matemáticas] \ triángulo \ rm ABC [/ matemáticas] con [matemáticas] \ overline {\ rm AB} \ cong \ overline {\ rm AC} [/ matemáticas]. Por lado a lado, [matemática] \ triangle \ rm ABC \ cong \ triangle \ rm ACB [/ math]. Por lo tanto, según el teorema de que las partes correspondientes de los triángulos congruentes son congruentes (CPCTC), inmediatamente tenemos [matemática] \ angle \ rm B \ cong \ angle \ rm C [/ math]. QED

La prueba original de Euclides implicaba una construcción y derivación elaboradas, mientras que la prueba anterior es tan simple que casi parece un truco. Se dice que la forma del diagrama de Euclides inspiró el apodo pons asinorum (puente de burros).

El teorema inverso puede probarse usando ángulo-ángulo-ángulo para establecer la congruencia de [matemáticas] \ triángulo \ rm ABC [/ matemáticas] y [matemáticas] \ triángulo \ rm ACB [/ matemáticas] y luego el teorema CPCTC nuevamente.

Answer 10

Teorema de Cantor:
En la teoría de conjuntos elementales, el teorema de Cantor establece que, para cualquier conjunto A , el conjunto de todos los subconjuntos de A (el conjunto de potencias de A ) tiene una cardinalidad estrictamente mayor que A en sí.

Prueba:
Dos conjuntos son equinumerosos (tienen la misma cardinalidad) si y solo si existe una correspondencia uno a uno entre ellos. Para establecer el teorema de Cantor es suficiente demostrar que, para cualquier conjunto A , ninguna función f de A al conjunto de potencia de A puede ser sobreyectiva, es decir, mostrar la existencia de al menos un subconjunto de A que no es un elemento de la imagen de A debajo de f . Tal subconjunto viene dado por la siguiente construcción:
Esto significa, por definición, que para todo x en A , x ∈ B si y solo si x ∉ f ( x ). Para todas las x, los conjuntos B y f ( x ) no pueden ser iguales porque B se construyó a partir de elementos de A cuyas imágenes (debajo de f ) no se incluyeron. Más específicamente, considere cualquier x ∈ A , luego x ∈ f ( x ) o x ∉ f ( x ). En el primer caso, f ( x ) no puede ser igual a B porque x ∈ f ( x ) por suposición y x ∉ B por la construcción de B. En el último caso, f ( x ) no puede ser igual a B porque x ∉ f ( x ) por suposición y x ∈ B por la construcción de B.
Por lo tanto, no hay x tal que f ( x ) = B ; en otras palabras, B no está en la imagen de f . Debido a que B está en el conjunto de potencia de A , el conjunto de potencia de A tiene una mayor cardinalidad que A en sí.

Tomado de Wikipedia: el teorema de Cantor

Answer 11

La prueba de Euclides de que hay infinitos números primos:

Supongamos que podemos hacer una lista completa de números primos, en orden ascendente:

[matemáticas] 2, 3, 5, 7, \ ldots, P [/ matemáticas]

donde P es el más grande de ellos. Multiplicamos todos juntos y sumamos 1, para hacer el número:

[matemática] Q = 2 \ veces 3 \ veces 5 \ veces 7 \ veces \ ldots \ veces P + 1 ~. [/ matemáticas]

Esta Q no es divisible por 2, 3, 5, 7, o cualquiera de los primos en la lista, porque si dividimos Q por uno de esos números primos obtenemos el resto de 1.

Entonces hay dos posibilidades: Q es un nuevo número primo, más grande que cualquiera en la lista, o bien tiene factores primos que no estaban en la lista y que deben ser más grandes que P (ya que todos los primos más pequeños que P eran en la lista) .

De cualquier manera, concluimos que debe haber un primo mayor que P , de modo que nuestra lista inicial estaba incompleta. Dado que este argumento funciona para cualquier P , no importa cuán grande sea, debe haber infinitos números primos.

Answer 12

Problema. Demuestre que [matemáticas] n! [/ math] divide [math] (n + 1) \ cdot (n + 2) \ cdot \ ldots \ cdot (2n-1) \ cdot (2n) [/ math].

Solución.

Considere la cantidad de formas de elegir números [matemáticos] n [/ matemáticos] de [matemáticos] \ {1,2, \ ldots, 2n \} [/ matemáticos]. Este numero es

[matemáticas] \ displaystyle \ binom {2n} {n} = \ frac {(2n)!} {(n!) ^ 2} = \ frac {(n + 1) (n + 2) \ ldots (2n)} {n!} [/ matemáticas]

Dado que este número es un número entero (porque es la cantidad de formas de hacer algo), se deduce que el denominador divide el numerador.

Lo que me parece interesante es que un problema de teoría de números tiene una solución combinatoria pura “oh X debe ser divisible por Y porque X / Y es la cantidad de formas de hacer algo”. No he visto ninguna otra solución similar a esta.

Answer 13

Teorema: existen brechas arbitrariamente grandes en la secuencia de números naturales entre 2 primos consecutivos, es decir, para cada número natural N, arbitrariamente grande, hay N números naturales P + 1, P + 2, P + 3, …, P + N que no contiene ningún número primo. De hecho, solo tome P = (N + 1)! + 1. Entonces P + 1 es divisible por 2, P + 2 es divisible por 3, y así hasta P + N, que es divisible por N + 1. QED

Answer 14

Aquí hay una manera agradable, corta y relativamente elemental de probar la fórmula de Euler (y, por lo tanto, la identidad de Euler).

Sea [matemática] z (x) = cos (x) + i sin (x) [/ matemática]

Entonces [math] \ frac {dz} {dx} = i cos (x) -sin (x) = i (cos (x) + i sin (x)) = iz [/ math]

entonces [matemáticas] (1 / z) dz = idx [/ matemáticas].

La integración de ambos lados produce

[matemática] ln (z) = ix + C [/ matemática] que es equivalente a

[matemáticas] z = e ^ {ix + C} [/ matemáticas] o

[matemática] z = ke ^ {ix} [/ matemática] donde [matemática] k = e ^ C [/ matemática] (ecuación 1).

Es fácil ver que [matemática] z (0) = 1 [/ matemática] sustituyendo así [matemática] x = 0 [/ matemática] en la ecuación. 1 vemos que [matemáticas] k = 1 [/ matemáticas]. Poniendo todo junto, obtenemos la fórmula de Euler [matemáticas] e ^ {ix} = cos (x) + i sin (x) [/ matemáticas] (ecuación 2).

Dado esto, podemos probar trivialmente algunos hechos interesantes, como la identidad infame [matemática] e ^ {i \ pi} + 1 = 0 [/ matemática] (simplemente conecte [matemática] x = \ pi [/ matemática] en eqn. 2)

Answer 15

La prueba de que hay infinitos números primos en [math] \ mathbb {N} [/ math]:

Deje que [math] P = \ {p_0, p_1, …, p_n \} [/ math] sea cualquier colección finita de primos. Entonces [math] \ hat {p} = p_0 \ cdot p_1 \ cdot … \ cdot p_n + 1 [/ math] es mayor que 1 y no es divisible por ningún elemento de P, por lo que es primo o es compuesto y divisible por alguna prima no en P. De cualquier manera, tenemos una prima no en P; por lo tanto, cualquier colección finita de primos no puede ser completa.