Cómo encontrar todos los números naturales posibles [matemática] a, b, c [/ matemática] tal que [matemática] a ^ 7 + b ^ 7 = 7 ^ c [/ matemática]

Answer 1

No encontrarás ninguno.

Supongamos que hay algunas soluciones. Elija entonces una solución [math] (a, b, c) \ in \ mathbf {N} ^ 3 [/ math] con el mínimo [math] c [/ math].

Si [matemática] a [/ matemática] o [matemática] b [/ matemática] fueran divisibles por [matemática] 7 [/ matemática] entonces [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] se dividirían [matemáticas] 7 [/ matemáticas].
Eso implicaría que [matemática] c> 7 [/ matemática] y [matemática] (\ frac {a} {7}, \ frac {b} {7}, c-7) [/ matemática] también sería una solución . Esto contradice la minimidad de [matemáticas] c [/ matemáticas].

Ahora tenga en cuenta que [matemáticas] a ^ 7 + b ^ 7 = 7 ^ c [/ matemáticas] implica que [matemáticas] a + b \ equiv 0 \ mod 7 [/ matemáticas], es decir, [matemáticas] b = -a \ mod 7 [/ matemáticas].

Por lo tanto, tenemos [math] a + b = 7k [/ math] para algunos [math] k \ in \ mathbf {N} [/ math].

Ahora, según el teorema del binomio: [matemáticas] a ^ 7 + (7k-a) ^ 7 = \ sum_ {i = 1} ^ {7} \ binom {7} {i} (-1) ^ {i + 1} 7 ^ {i} k ^ {i} a ^ {7-i} [/ matemáticas].

Tenga en cuenta que dado que cada uno de los coeficientes binomiales ([matemática] i \ neq 7 [/ matemática]) en la suma divide [matemática] 7 [/ matemática], y [matemática] a [/ matemática] no se debe a nuestra suposición , el poder máximo de [math] 7 [/ math] que divide esta expresión está determinado por el término [math] \ binom {7} {1} 7k \ cdot a ^ {6} = [/ math] [math] 49 \ cdot k \ cdot a ^ {6} [/ math].

Se deduce que si [matemáticas] 7 ^ {m} [/ matemáticas] es el poder máximo que divide [matemáticas] a + b [/ matemáticas] entonces [matemáticas] 7 ^ {m + 1} [/ matemáticas] es la máxima poder que divide [matemáticas] a ^ 7 + b ^ 7. [/ matemáticas]

Implica que si [matemática] 7 ^ c [/ matemática] divide [matemática] a ^ 7 + b ^ 7 [/ matemática] entonces [matemática] 7 ^ {c-1} [/ matemática] también debe dividir [matemática] a + b [/ matemáticas], es decir, [matemáticas] 7 (a + b) \ geq 7 ^ c = a ^ 7 + b ^ 7. [/ matemáticas]

Esto es claramente imposible ya que [matemáticas] a, b, c [/ matemáticas] son ​​números naturales. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Puede ser interesante notar que una solución con [math] c = 7m [/ math] contradiría incluso el último teorema de Fermat.

Actualización: Claramente, esta prueba se generaliza a cualquier [matemática] a ^ {p} + b ^ {p} = p ^ {c} [/ matemática] donde [matemática] p [/ matemática] es primo impar como lo señaló Mihajlo Nestorovic .

Answer 2

El mismo problema, pero para todos los números primos: a ^ p + b ^ p = p ^ c

Solución:

Si p es impar, entonces deje que mcd (a, b) = d ==> d | p ==> 1 ° d = p o 2 ° d = 1

1 ° si d = p entonces p | a y p | b,
Deje a = p ^ k * a1 y b = p ^ q * b1
y (p, a1) = (b1, p) = 1 yk> = q.
ahora p ^ (q * p) * (p ^ (p * (kq)) * a1 ^ p + b1 ^ p) = p ^ c
si k> q entonces, el lado izquierdo de la ecuación es divisible con otro factor primo, lo que es contradicción, porque el lado derecho de la ecuación es divisible solo con p.
si k = q entonces, p ^ (q * p) * (a1 ^ p + b1 ^ p) = p ^ c, nuevamente contradicción porque otro factor primo divide el lado izquierdo …

2 ° SO d = 1
Ahora por Fermat LT tenemos que p | a + b y p | (a ^ p + b ^ p) / (a ​​+ b), porque solo p divide a ^ p + b ^ p ==> solo p divide a + b entonces a + b = p ==> a ^ p + b ^ p = (a + b) ^ p. Esto es posible solo para p = 1 lo que no es número primo.
SO P DEBE SER IGUAL 2
ESTO ES PRUEBA DE QUE P NO PUEDE SER EXTRAÑO (por lo que no puede ser 7)
😀