El significado preciso es:
Deje que [math] p_k [/ math] sea el número primo [math] k ^ {th} [/ math]. La serie armónica principal es entonces:
[matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac 1 {p_k} = \ frac 1 {p_1} + \ frac 1 {p_2} + \ frac 1 {p_3} + \ ldots [/ math]
Se puede demostrar que [math] \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac 1 {p_k} = \ infty [/ math].
De hecho, se puede demostrar que la suma parcial: [matemática] \ sum_ {k = 1} ^ N \ frac 1 {p_k} [/ matemática] crece a la misma velocidad que [matemática] \ ln (\ ln N) [/matemáticas].
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El doble logaritmo natural indica que aunque la serie crece sin límites, lo hace muy lentamente. Que tan lento Bien, supongamos que después de los términos [matemática] N [/ matemática], la suma parcial había crecido a [matemática] S_N [/ matemática]. ¿Cuántos términos más se necesitarían para que la suma parcial crezca cinco veces más que [math] 5S_N [/ math]? Resulta que tomaría aproximadamente [matemática] 2.85 \ veces 10 ^ {64} N [/ matemática] más términos. Eso son muchos términos. (Al menos esto sería cierto para [matemáticas] S_N >> 1 [/ matemáticas] ya que los resultados son asintóticos).
Y como respuesta explícita a su pregunta de seguimiento, [math] \ ln (\ ln N) [/ math] se refiere a la tasa de crecimiento de la serie en cuestión, NO a la tasa de crecimiento de los números primos. El teorema de los números primos describe la distribución asintótica de los números primos entre los enteros positivos. Sospecho que no tendrá problemas para encontrar muchas fuentes que describan este teorema en detalle si desea obtener más información.