S es un conjunto de números reales tales que: 1) 0 está en S 2) Siempre que x está en S entonces 2 ^ x + 3 ^ x también está en S 3) Siempre que x ^ 2 + x ^ 3 está en S entonces x está en S. ¿Cómo pruebo que: a) S no tiene límites b) S contiene al menos 2 números reales entre 0 y 1?

  • S no está limitado por la definición misma.

Cuando dijo que si x está en el Conjunto S, entonces para cada x, 2 ^ x + 3 ^ x está en el conjunto. Entonces nos habías dado que 0 está en el conjunto. Por lo tanto, se convierte en un conjunto independiente.
Para ayudarlo a comprender el límite (desunión en este caso) más claramente, piense en la función pecado. Se limita a valores de -1 a 1. Este conjunto no se limitará a dicho soporte. Cuando ve un círculo, está acotado, cuando define una línea. No lo es.

  • Si 0 está en el conjunto, y tiene 2 ^ x + 3 ^ x allí, entonces también tendría 2 en el conjunto, ahora por función de exponente, trazaría un gráfico y encontraría algo similar a esto:


Entonces, ¿encuentras números infinitos entre 0 y 1? Sí hay. Y este gráfico también le informa sobre la naturaleza ilimitada del conjunto.

Espero que esto ayude. Gracias por A2A Anom.

La respuesta a la parte (a): Dado que 0 pertenece a S, 2 = 2 ^ 0 + 3 ^ 0 pertenece a S. Y por lo tanto, 2 ^ 2 + 3 ^ 2 pertenece a S y así sucesivamente. Y por lo tanto S es ilimitado.

Para refutar las dos respuestas existentes para la parte (b) en este momento, permítanme demostrar un conjunto S que satisface (1) y (2) pero no tiene la propiedad (b).
Considere el conjunto [matemáticas] S ‘= \ {2 ^ n + 3 ^ n | n \ in \ mathbb {N} \} \ cup \ {0 \} [/ math]. [math] S ‘[/ math] es un contraejemplo de cualquier prueba que intente probar la declaración sin usar la propiedad (3).

Para completar la prueba, solo observe que [matemáticas] x ^ 2 + x ^ 3 – 1 = 0 [/ matemáticas] tiene una raíz entre 0 y 1 por el teorema del valor intermedio. Es decir, [matemática] x ^ 2 + x ^ 3 – 1 [/ matemática] es negativa en 0 y positiva en 1. Por lo tanto, hay una raíz [matemática] y [/ matemática] en el medio. Por lo tanto, [math] y [/ math] pertenece a S por propiedad (3). Ahora puede repetir el mismo truco con [matemáticas] x ^ 2 + x ^ 3 – y = 0 [/ matemáticas] y con un poco de cuidado puede demostrar que obtiene un número más en S entre 0 y 1.