Veamos todos los cuadrados de dígitos hasta 10
0 ^ 2 = 00
1 ^ 2 = 01
2 ^ 2 = 04
3 ^ 2 = 09
4 ^ 2 = 16
5 ^ 2 = 25
6 ^ 2 = 36
7 ^ 2 = 49
8 ^ 2 = 64
9 ^ 2 = 81
10 ^ 2 = 100
Como puede ver, ninguno de los dígitos termina con 2, 3, 7 u 8.
Ahora, cualquier número por encima de 9, siempre se puede representar en la forma (X + y) de modo que y sea menor que 10 y X sea un múltiplo de 10.
Por ej.
1) 25 = 20 +5 (X = 20, y = 5)
2) 137 = 130 + 7 (X = 130, y = 7)
3) 4339483498 = 4339483490 + 8 (X = 4339483490, y = 8)
Como se estableció anteriormente, ya que 0 <y <10,
y ^ 2 nunca puede terminar con 2,3,7 u 8
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La suma de cuadrados (X + y) ^ 2 = X ^ 2 + 2Xy + y ^ 2 es una ecuación bien conocida
Volvamos a los 3 ejemplos anteriores. En cada uno puede obtener un número x (x pequeño) tal que X = 10 * x
Por lo tanto en
1) x = 2
2) x = 13
3) x = 433948349
por lo tanto, la ecuación también se puede escribir como
(10x + y) ^ 2
= (10x) ^ 2 + 2 * 10x * y + y ^ 2
= 100x + 20xy + y ^ 2
Ahora, x e y son enteros,
100x y 20xy siempre tendrán un 0 al final.
Por lo tanto, el dígito de la unidad se determinará por y ^ 2
Y también sabemos que y ^ 2 nunca puede terminar con 2,3,7 u 8.
Entonces, nunca podemos tener un cuadrado perfecto que termine en 2,3,7 u 8.