¿Cómo se probaría [matemáticas] (2 ^ 1 – 1) + (2 ^ 2 – 1) +… + (2 ^ n – 1) = 2 ^ {n + 1} – n – 2 [/ matemáticas] por inducción ?

Answer 1

Antes que nada, verifique el caso base. Aquí para el caso base n = 1 = a

LHS = 1

RHS = 4–1–2 = 1 = LHS

HENCE, se verifica el caso base.

Ahora suponga que P (n) es verdadero para todos n <k. Esta es la HIPÓTESIS INDUCTIVA.

(esta es una forma más fuerte de Inducción, en lugar de usar solo P (k-1) para probar P (k). Para los lectores interesados, les sugiero que también lean Inducción simultánea)

Usando la hipótesis inductiva, demuestre que P (n) se cumple para n = k. Luego, por el PMI (Principio de inducción matemática), se cumple para todos n> = a.

Ahora P (k):

(2 ^ 1 – 1) +… + (2 ^ [k-1] – 1) + (2 ^ k – 1)

Ahora, por la hipótesis inductiva, P (k-1) es verdadero (aunque P (k-2) … también es cierto, pero no los necesitaremos para completar esta prueba), así que todo, excepto el último paréntesis, se condensa y nos da

2 ^ [k-1 + 1] – (k-1) – 2 + 2 ^ k – 1

Que con la simplificación nos da

2 ^ [k + 1] – k – 2

Lo que implica que P (k) es cierto.

Entonces, según el PMI, se cumple para todos n> = 1.

Revierta si se requiere alguna aclaración.

Arpit Gupta

Answer 2

Primero, suponga que P (n) es verdadero para n = k, por lo tanto, considere P (k): [matemáticas] (2 ^ 1 – 1) + (2 ^ 2 – 1) +… + (2 ^ k – 1) = 2 ^ {k + 1} – k – 2 [/ matemáticas].

Ahora, si todo n = k es verdadero, entonces n = k + 1 también es verdadero.

Por lo tanto, en ese caso,
P (k + 1): [matemáticas] (2 ^ 1 – 1) + (2 ^ 2 – 1) +… + (2 ^ {k + 1} – 1) = 2 ^ {k + 2} – (k +1) – 2 [/ math], y necesitamos probar si LHS es igual a RHS.

Por lo tanto, LHS = [matemáticas] [(2 ^ 1 – 1) + (2 ^ 2 – 1) +…. + (2 ^ k -1)] + (2 ^ {k + 1} – 1) [/ matemáticas]
= [matemáticas] 2 ^ {k + 1} – k – 2 + 2 ^ {k + 1} – 1 [/ matemáticas]
= [matemáticas] 2 (2 ^ {k + 1}) – (k + 1) – 2 [/ matemáticas]
= [matemáticas] 2 ^ {k + 2} – (k + 1) – 2 = RHS [/ matemáticas]

Como P (k + 1) es verdadero, por lo tanto, P (k) también es verdadero, por lo que P (n) es verdadero.

¡Espero que ayude!

Answer 3

Sea [matemática] S (n) [/ matemática] la declaración: [matemática] (2 ^ {1} -1) + (2 ^ {2} -1) + \ dots + (2 ^ {n} -1) = 2 ^ {n + 1} -n-2 [/ matemáticas]

Paso básico: [matemática] S (1) [/ matemática]:

LHS: [matemáticas] (2 ^ {(1)} – 1) = 1 [/ matemáticas]

RHS: [matemáticas] 2 ^ {(1) +1} – (1) -2 = 2 ^ {2} -3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {39.5 mm} = 4-3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {39.5 mm} = 1 [/ matemáticas]

[matemática] \ hspace {70 mm} [/ matemática] LHS [matemática] = [/ matemática] RHS

Paso inductivo:

Suponga que [matemática] S (k) [/ matemática] es verdadera, es decir, suponga que [matemática] (2 ^ {1} -1) + (2 ^ {2} -1) + \ dots + (2 ^ {k} – 1) = 2 ^ {k + 1} -k-2 [/ matemáticas]

[matemáticas] S (k + 1) [/ matemáticas]: [matemáticas] \ subrayado {(2 ^ {1} -1) + (2 ^ {2} -1) + \ puntos + (2 ^ {k} -1 )} + (2 ^ {k + 1} -1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {13 mm} = 2 ^ {k + 1} -k-2 + (2 ^ {k + 1} -1) [/ matemáticas]

[math] \ hspace {13 mm} = 2 \ bullet {2 ^ {k + 1}} – (k + 1) -2 [/ math]

[matemáticas] \ hspace {13 mm} = 2 ^ {k + 2} – (k + 1) -2 [/ matemáticas]

Entonces, [matemática] S (k + 1) [/ matemática] es verdadera siempre que [matemática] S (k) [/ matemática] sea verdadera.

Por lo tanto, [matemáticas] (2 ^ {1} -1) + (2 ^ {2} -1) + \ dots + (2 ^ {n} -1) = 2 ^ {n + 1} -n-2 [/ matemáticas].

Answer 4

Oye, como sabes la suma de las series geométricas 1 + x + x ^ 2 + …… .x ^ n = (x ^ (n + 1) -1) / (x-1)… ..
En tu caso, formas tu ecuación como:
2 ^ 1 + 2 ^ 2 + ……. + 2 ^ n-1… hasta n términos
como sabes, la suma de n 1 término es n
desde arriba podemos escribir esto
(2 ^ (n + 1) -1) / (2-1) -1-n
-> 2 ^ (n + 1) -1-1-n
-> 2 ^ (n + 1) -n-2

Answer 5

Suponga que para n, y demuestre que es verdadero para n + 1. Es decir, la hipótesis de inducción es:

(2 ^ 1 – 1) + (2 ^ 2 – 1) +… + (2 ^ n – 1) = 2 ^ (n + 1) – n – 2

Ahora,

(2 ^ 1 – 1) + (2 ^ 2 – 1) +… + (2 ^ n – 1) + (2 ^ (n + 1) – 1) = 2 ^ ((n + 1) +1) – (n + 1) – 2 Para obtener una explicación adecuada, puede obtener ayuda de la tutoría en línea de Tutorpace.