¿Cuál es la intuición que explica por qué [matemáticas] \ frac {a} {b} \ cdot \ frac {c} {d} = \ frac {a \ cdot c} {b \ cdot d} [/ matemáticas] para todos los racionales?

Answer 1

Dibuja un círculo y divídelo en dos. Luego divide una de las mitades en dos. Pregunte: ¿cuánto es la mitad de la mitad? El niño debe ver que es un cuarto del círculo. Entonces [matemáticas] \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {1} {2} = \ frac {1} {4} [/ matemáticas].

Ahora dibuja otro círculo y divídelo en dos, luego divide una de las mitades en tres. Pregunte: ¿cuánto es un tercio de la mitad? Él o ella debería ver que es una sexta parte del círculo. Entonces [matemáticas] \ frac {1} {3} \ cdot \ frac {1} {2} = \ frac {1} {6} [/ matemáticas].

Un niño inteligente, a estas alturas, debería darse cuenta de que [matemáticas] \ frac {1} {b} \ cdot \ frac {1} {d} = \ frac {1} {b \ cdot d} [/ matemáticas]. Si no, dale algunos ejemplos más similares, pero siempre mantén los numeradores iguales a 1, por ahora.

Tan pronto como el niño lo entienda, ahora viene la segunda parte: explicar que [matemáticas] a \ cdot \ frac {1} {b} = \ frac {a} {b} [/ matemáticas]. Dibuja un círculo y divídelo en cuatro partes. Sombrea una parte. Pregunte: ¿cuánto es esto? Respuesta: una cuarta parte del círculo. Sombrea dos partes más. Pregunte: ¿cuánto es esto ahora? Respuesta: tres cuartos del círculo. Entonces tres de estos cuartos son iguales a tres cuartos; entonces [matemáticas] 3 \ cdot \ frac {1} {4} = \ frac {3} {4} [/ matemáticas]. Déle al niño algunos ejemplos más similares a esto.

Finalmente, para responder a la pregunta principal: ¿qué es [matemáticas] \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {4} {5}? [/ Matemáticas] Primero dividimos [matemáticas] \ frac {2} {3} [/ math] como dos [math] \ frac {1} {3} [/ math] ‘s, entonces [math] \ frac {2} {3} = 2 \ cdot \ frac {1} {3} [/ matemáticas]. Del mismo modo [matemáticas] \ frac {4} {5} = 4 \ cdot \ frac {1} {5} [/ matemáticas]. Entonces

[matemáticas] \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {4} {5} = \ left (2 \ cdot \ frac {1} {3} \ right) \ times \ left (4 \ cdot \ frac { 1} {5} \ derecha) [/ matemáticas]
[matemática] = (2 \ por 4) \ veces \ izquierda (\ frac {1} {3} \ cdot \ frac {1} {5} \ right) = 8 \ cdot \ frac {1} {15} = \ frac {8} {15} [/ math].

Después de algunos ejemplos más como este, el niño finalmente debería darse cuenta de que [matemáticas] \ frac {a} {b} \ cdot \ frac {c} {d} = \ frac {a \ cdot c} {b \ cdot d} [/matemáticas].

Answer 2

Tome una canasta con mangos [matemáticos] b [/ matemáticos]. Elija [math] a [/ math] mangos de la canasta. Por lo tanto, elegimos los mangos “a de b” que podemos escribir como [matemáticas] \ frac {a} {b} [/ matemáticas].

Ahora, tome cestas [math] d [/ math] con mangos [math] b [/ math] cada una. Repetimos nuestro proceso de elegir mangos [math] a [/ math] pero lo hacemos solo en cestas [math] c [/ math]. Por lo tanto, elegimos mangos “a de b” de canastas de “c de d”. Esto lo podemos escribir como [math] \ frac {a} {b} \ cdot \ frac {c} {d} [/ math].

Sin embargo, poseemos mangos [math] a [/ math] de canastas [math] c [/ math]. Por lo tanto, tenemos mangos [matemáticos] a \ cdot c [/ matemáticos]. Además, cada canasta tenía mangos [math] b [/ math] y había canastas [math] d [/ math]. Por lo tanto, en total hay mangos [math] b \ cdot d [/ math]. Entonces, en realidad tenemos mangos “ac de bd” que podemos escribir como [math] \ frac {a \ cdot c} {b \ cdot d} [/ math].

Por lo tanto, [matemática] \ frac {a} {b} \ cdot \ frac {c} {d} = \ frac {a \ cdot c} {b \ cdot d} [/ math]

Answer 3

Corte una torta rectangular en una cuadrícula con filas [matemática] b [/ matemática] y columnas [matemática] d [/ matemática]. Tomar [matemáticas] c [/ matemáticas] de las columnas iguales [matemáticas] d [/ matemáticas], y de estas, tomar [matemáticas] a [/ matemáticas] de las filas iguales de [matemáticas] b [/ matemáticas], es el lo mismo que tomar [math] a \ cdot c [/ math] de las [math] b \ cdot d [/ math] piezas iguales.

Answer 4

Incluso un niño puede entender que la división es solo la multiplicación por un inverso.

Para dividir entre [matemáticas] b [/ matemáticas] debemos encontrar su inverso [matemáticas] b ‘[/ matemáticas] y multiplicar por eso. El inverso [math] b ‘[/ math] es ese número para el cual

[matemáticas] b ‘\ cdot b = b \ cdot b’ = 1 [/ matemáticas]

Una vez que tenemos esa definición abajo, todas las reglas para los racionales son triviales (aunque algo algebraicas). En particular:

[matemáticas] \ frac {a} {b} \ cdot \ frac {c} {d} \ equiv (a \ cdot b ‘) \ cdot (c \ cdot d’) [/ math]

[matemáticas] \ equiv (a \ cdot c) \ cdot (b ‘\ cdot d’) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ equiv (a \ cdot c) \ cdot (b \ cdot d) ‘[/ math]

[matemáticas] \ equiv \ frac {a \ cdot c} {b \ cdot d} [/ matemáticas]

Answer 5

Aquí están los dos hechos que un estudiante de primaria puede entender, y que juntos explican este algoritmo:

1. [matemáticas] \ frac {a} {b} = a \ cdot \ frac {1} {b} [/ matemáticas]
2. “Tiempos”, en el contexto de fracciones, significa “de”.

Entonces,

[matemáticas] \ frac {3} {5} \ cdot \ frac {2} {7} = 3 \ times \ frac {1} {5} \ cdot \ left (2 \ times \ frac {1} {7} \ derecha) [/ matemáticas]

[math] = 3 \ times 2 \ times \ left (\ frac {1} {5} \ text {of} \ frac {1} {7} \ right). [/ math]

¿Qué sucede cuando divides un séptimo en quintos? Con suerte, verán que cada pieza es una 35a, o 1 pulgada (5 veces 7). Así,

[matemáticas] \ frac {3} {5} \ cdot \ frac {2} {7} = (3 \ veces 2) \ veces \ frac {1} {5 \ cdot 7} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {3 \ cdot 2} {5 \ cdot 7}. [/ math]