Si [math] \ frac {1} {a} + \ frac {1} {b} + \ frac {1} {c} = \ frac {5} {7} [/ math], ¿cuál es el valor de [ matemáticas] a, b [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas]?

Answer 1

Asumiré que la pregunta desea que la búsqueda se realice en enteros positivos. Antes de comenzar realmente, hacemos dos cosas. Supongamos que [math] a \ le b \ le c [/ math] y resolviendo para c, encontramos

[matemáticas] \ frac {1} {a} + \ frac {1} {b} + \ frac {1} {c} = \ frac {5} {7} \ Rightarrow 7ab + 7bc + 7ca = 5abc \ Rightarrow 7a (b + c) = bc (5a – 7) \ Rightarrow c = \ frac {{7ab}} {{5ab – 7b – 7a}} [/ math].

Ahora, [matemáticas] 21bc \ ge 5abc \ Rightarrow 21 \ ge 5a \ Rightarrow a \ le 4 [/ math].

[matemática] a = 1 [/ matemática] no produce solución.

Si [matemática] a = 2 [/ matemática], entonces [matemática] 14 (b + c) = 3bc \ Rightarrow 28c \ ge 3bc \ Rightarrow 28 \ ge 3b \ Rightarrow b \ le 9 [/ math]. Entonces [matemáticas] c = \ frac {{14b}} {{3b – 14}} [/ matemáticas] permitiendo

[matemáticas] b = 5,6,7 \ Flecha derecha c = 70,21,14 [/ matemáticas].

Si [matemática] a = 3 [/ matemática], entonces [matemática] a = 3 \ Rightarrow 21 (b + c) = 8bc \ Rightarrow 42c \ ge 4bc \ Rightarrow 21 \ ge 2b \ Rightarrow b \ le 10 [/ math ] Esta vez, [matemática] c = \ frac {{21b}} {{8b – 21}} \ Rightarrow b = 3, c = 21 [/ matemática].

Si [math] a = 4 [/ math], [math] 28b + 28c = 13bc \ Rightarrow 56c \ ge 13bc \ Rightarrow 56 \ ge 13b \ Rightarrow b \ le 4 [/ math]. Ahora, [math] c = \ frac {{28b}} {{13b – 28}} [/ math] y no hay ningún valor disponible para [math] b [/ math] en el rango.

Después de una presentación detallada, el resumen se ve como [matemáticas] (a, b, c) = (2,5,70), (2,6,21), (2,7,14), (3,3,21 ) [/ math] junto con todos los reordenamientos dentro del triple.

Answer 2

Hay ocho respuestas correctas a esta pregunta, suponiendo que a, byc son enteros.
1, -3,21
1, -4, -28
1, -7, -7
2,4, -28
2,5,70
2,6,21
2,6,14
y
3,3,21

Al igual que muchos problemas que tienen un número finito de soluciones integrales, una forma de encontrar una respuesta completa es limitar el número de pruebas necesarias, luego aplicar prueba y error.

Teniendo en cuenta que a, byc son intercambiables a medida que se plantea el problema, podemos suponer sin pérdida de generalidad que | a | <= | b | <= | c |. En esta construcción, | 1 / a |> = | 1 / b |> = | 1 / c |. Como esto es así, y como 1/5 + 1/5 + 1/5 <5/7, podemos limitar nuestra búsqueda a | a | <5 (es decir, a = -4, -3, -2, - 1,1,2,3, o 4).

Centrémonos en a = 2 para comenzar porque es el caso más complicado.
Podemos conectar valores enteros positivos para b, comenzando con a y resolviendo para c (c = (5 / 7-1 / a-1 / b) ^ – 1)). Usé una hoja de cálculo simple para hacer estos cálculos.
Para a = 2 yb = 2, c = -3.5, que no es un número entero.
Para a = 2 yb = 3, c = -8.4, que no es un número entero.
Para a = 2 y b = 4, c = -28, que es un número entero. Tenemos nuestra primera solución.
Tenga en cuenta que, a medida que b aumenta hacia un límite de 14/3, c se vuelve cada vez más negativo. En b = 14/3, no hay solución para c. Cuando b excede 14/3, c se convierte en un número positivo y disminuye monotónicamente.
Para a = 2 yb = 5, c = 70, que es un número entero. Tenemos nuestra segunda solución.
Para a = 2 yb = 6, c = 21, que es un número entero. Tenemos nuestra tercera solución.
Para a = 2 yb = 7, c = 14, que es un número entero. Tenemos nuestra cuarta solución.
Para a = 2 yb = 8, c = 11.2, que no es un número entero.
Para a = 2 yb = 9, c = 9.69, que no es un número entero.
Para a = 2 yb = 10, c = 8.75, que no es un número entero, y que es menor que 10. Ahora | b |> | c | y, a medida que aumentamos b más, c continuará disminuyendo, alcanzando un asíntota positiva (14/3). Por lo tanto, no tenemos que probar más valores positivos de b.

También podemos probar valores negativos de b para a = 2, comenzando con -2.
Para a = 2 yb = -2, c = 1.4, que no es un número entero, y que es menor que 2. Ahora | b |> | c | y, a medida que aumentamos b más, c aumentará a una tasa más lenta , alcanzando una asíntota positiva (14/3). Entonces no tenemos que probar más valores negativos de b. Sabemos que ninguno funcionará. Esto no debería ser sorprendente, ya que 1/2 <5/7, y restar de 1/2 no nos llevará a 5/7.

Por lo tanto, tenemos 4 soluciones enteras para a = 2.

Podemos hacer lo mismo para a = 3 y a = 4, aunque hay menos permutaciones con b> 0 antes de encontrar que | b |> | c |. Solo encontramos una solución, que es a = 3, b = 3, c = 21.

También encontramos que, cuando a = 3 o 4, los valores negativos de b tienen el mismo problema que tuvimos anteriormente para a = 2. Así que no nos molestamos en probarlos.

El último entero positivo para a es 1. Para a = 1 yb = 1, c = -7 / 9 que no es un entero y que tiene un valor absoluto menor que 1. Ahora | b |> | c |, y A medida que aumentamos b, c disminuirá a un ritmo más lento, alcanzando una asíntota negativa (-7/2). Entonces, para todos los valores positivos de b, | b |> | c |. Sabemos que ninguno funcionará. Esto no debería ser sorprendente, ya que 1/1> 5/7, tenemos que restarlo para llegar a 5/7 (es decir, b debe ser negativo).

Ahora intentamos enteros negativos para b (con a = 1), comenzando con b = -1. Encontramos tres soluciones para b = -3, -4 y -7. Entonces, en a = 1 y b = -8, c = -6.22…. Nuevamente, | b |> | c |, y, a medida que disminuimos b más, | c | continuará disminuyendo, alcanzando una asíntota en c = -3.5. Entonces no tenemos que probar más valores negativos de b.

Parece que uno podría hacer un argumento lógico de por qué a debe ser positivo. No intenté hacerlo. Simplemente probé las mismas fórmulas con a = -1, -2, -3 y -4, y descubrí que | b |> | c | para todas las soluciones Por lo tanto, no hubo más respuestas correctas.

Answer 3

Aquí se explica cómo resolver esto con la suposición adicional de que a, b, c son enteros positivos .

Sin pérdida de generalidad, supongamos que [math] a \ leq b \ leq c [/ math]. (Todas las soluciones reales son permutaciones de las que encontraremos con este supuesto).

Ahora, [matemáticas] a [/ matemáticas] debe ser como máximo 4. ¿Por qué? Porque si [math] a \ geq 5 [/ math], tendríamos

[matemáticas] \ frac 1a + \ frac 1b + \ frac 1c ~ \ leq ~ \ frac 15+ \ frac 15+ \ frac 15 ~ <~ \ frac 57 [/ matemáticas]

Del mismo modo, [math] b [/ math] debe ser como máximo 13: para [math] b \ geq 14 [/ math], tendríamos

[matemáticas] \ frac 1b + \ frac 1c ~ \ leq ~ \ frac 1 {14} + \ frac 1 {14} ~ = ~ \ frac 17 [/ matemáticas]

y necesitaríamos [matemáticas] 1 / a [/ matemáticas] para estar entre [matemáticas] 4/7 [/ matemáticas] y [matemáticas] 5/7 [/ matemáticas], lo cual es imposible.

Y ahora para los perezosos entre nosotros: http://ideone.com/Sjg9Ur

Por lo tanto, hay (hasta la permutación) cuatro soluciones distintas: [matemáticas] (2,5,70) [/ matemáticas], [matemáticas] (2,6,21) [/ matemáticas], [matemáticas] (2,7 , 14) [/ matemáticas] y [matemáticas] (3,3,21) [/ matemáticas].

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Dado un supuesto diferente de que a, b, c son enteros arbitrarios , existen soluciones adicionales: [matemáticas] (1, -3,21) [/ matemáticas], [matemáticas] (1, -4, -28) [/ matemáticas ], [matemáticas] (1, -7, -7) [/ matemáticas] y [matemáticas] (2,4, -28) [/ matemáticas]. Se puede usar un enfoque similar para encontrarlos.

Answer 4

Supongamos que tiene cinco barras de pan y desea dividirlas en partes iguales entre siete personas. Podrías cortar los cinco panes en tercios, entonces tendrías 15 tercios. Entregue dos de ellos a cada una de las siete personas. Te quedará un tercio de un pan. Córtalo en siete rebanadas iguales y dale una a cada persona.

[matemáticas] \ frac57 = \ frac13 + \ frac13 + \ frac1 {21} [/ matemáticas]

Puede haber otras soluciones. a = b = 3, c = 21. (fracciones egipcias)

Answer 5

Tengo un método de fracciones egipcias que resuelve muchos problemas de este tipo. Primero miro la siguiente fracción más pequeña, es decir, la fracción que tiene el mismo numerador pero un denominador un entero más grande: en este caso, 5/8. ==> 5/7 = 5/8 + 5/56. Como 5/56 no se reduce a una fracción unitaria, entonces reduzco mi numerador en 1 ==> 5/7 = 1/7 + 4/7. Aplicando la reducción a 4/7, obtengo 5/7 = 1/7 + 4/8 + 4/56. Por lo tanto,
5/7 = 1/7 + 1/2 + 1/14. Con una cantidad muy pequeña de práctica, uno puede resolver estos problemas sin recurrir al papel y al lápiz. Para divertirme, he desafiado a los instructores de matemáticas a resolver estos problemas de fracciones “simples”, respondiéndolos con este método.

Answer 6

Dado 1 / a + 1 / b + 1 / c = 5/7

Hay un total de ocho respuestas para esta ecuación que
1, -3,21
1, -4, -28
1, -7, -7
2,4, -28
2,5,70
2,6,21
2,6,14
y
3,3,21

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Answer 7

Creo que hay una solución preferida para esta pregunta que no tiene una respuesta única.
Son los valores (enteros positivos) a, b, c en los que la fracción más pequeña (digamos 1 / c) es la mayor.
En este caso, dicha solución es 1/2 + 1/7 + 1/14

Answer 8

Primero note que 7/5 está entre 1/2 y 1 y por lo tanto 5/7 = 1/2 + r con 0