Sea [math] S [/ math] un conjunto de números primos tales que [math] a, b \ in S [/ math] ([math] a [/ math] y [math] b [/ math] no necesitan ser distinto) implica [matemática] ab + 4 \ en S. [/ matemática] ¿Por qué debe [matemática] S [/ matemática] estar vacía?

Answer 1

Deje [math] f_p (x) = y [/ math] donde [math] y [/ math] es el menor entero no negativo tal que [math] y \ equiv x ^ 2 + 4 \; {\ rm (mod} \; p) [/ math]. La esperanza es que para algunos [math] p [/ math], obtengamos algo así como un ciclo dominante de todos los residuos mod [math] p [/ math]. Probemos [math] p = 3 [/ math] primero.

[matemáticas] f_3 (1) = 2 \ quad f_3 (2) = 2 [/ matemáticas]

Ok, eso no es bueno. ¿Qué pasa con [matemáticas] p = 5 [/ matemáticas]?

[matemáticas] f_5 (1) = 0 \ quad f_5 (2) = 1 \ quad f_5 (3) = 3 [/ matemáticas]

Punto fijo de nuevo. No importa. Prueba [matemáticas] p = 7 [/ matemáticas].

[matemáticas] f_7 (1) = 5 \ quad f_7 (2) = 1 \ quad f_7 (3) = 6 [/ matemáticas]

[matemáticas] f_7 (4) = 6 \ quad f_7 (5) = 1 \ quad f_7 (6) = 5 [/ matemáticas]

Esto parece prometedor. Sea [math] x [/ math] el elemento mínimo de [math] S [/ math]. Si [matemática] x = 7, S [/ matemática] debe contener [matemática] 53 [/ matemática] y [matemática] 375 [/ matemática], lo cual es imposible. Así [matemáticas] x \ not \ equiv 0 \; \ rm {mod} \; 7 [/ matemáticas].

Deje [math] s_1 = x, s_ {n + 1} = s ^ 2_n + 4 [/ math] para [math] n \ ge 1 [/ math]. Entonces, al menos uno de los elementos en [math] \ {s_1, s_2, s_3, s_4 \} [/ math], digamos [math] p [/ math], debe ser [math] 1 \; \ rm {mod} \; 7 [/ math] y otro, digamos [math] q [/ math], debe ser [math] 5 \; \ rm {mod} \; 7 [/ matemáticas].

Sea [math] r = pq + 4 [/ math] y [math] s = qr + 4 [/ math]. Está claro que [math] s [/ math] es un múltiplo de [math] 7 [/ math] y, por lo tanto, no es primo.

Answer 2

Por alguna razón, preferiría trabajar con un número [matemático] 13 [/ matemático]. Esta razón es que [math] 3 \ cdot 3 +4 = 0 \ mod 13 [/ math] y espero construir una secuencia cuasi periódica [math] \ mod 13 [/ math] usando la regla anterior.

Suponga que [math] S [/ math] no está vacío, es decir, hay algunos primos [math] p \ en S [/ math]. Entonces [matemáticas] p ^ 2 +4 \ en S [/ matemáticas] también.

¿Cuáles son los posibles valores de [math] p ^ 2 +4 \ mod 13 [/ math]?

Bueno, tomamos [math] p \ equiv 0, 1, 2, \ ldots, 6 \ mod 13 [/ math] (el resto puede ser representado por los valores negativos [math] -1, -2, \ ldots -6 \ mod 13 [/ math], y no hace [math] p ^ 2 [/ math] ninguna diferencia).

Así,
[matemáticas] 0 ^ 2 +4 \ equiv 4 \ mod 13 [/ matemáticas]
[matemáticas] 1 ^ 2 +4 \ equiv 5 \ mod 13 [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 ^ 2 +4 \ equiv 8 \ equiv -5 \ mod 13 [/ matemáticas]
[matemáticas] 3 ^ 2 +4 \ equiv 0 \ mod 13 [/ matemáticas]
[matemáticas] 4 ^ 2 +4 \ equiv 7 \ equiv -6 \ mod 13 [/ matemáticas]
[matemáticas] 5 ^ 2 +4 \ equiv 3 \ mod 13 [/ matemáticas]
[matemáticas] 6 ^ 2 + 4 \ equiv 1 \ mod 13 [/ matemáticas]

Esta fue la parte más técnica :). Todos los valores posibles son [matemática] 4, 5, 8, 0, 7, 3,1 [/ matemática].

Entonces, si tiene [matemáticas] p ^ 2 +4 \ en S [/ matemáticas], también tiene [matemáticas] (p ^ 2 +4) ^ 2 +4 \ en S [/ matemáticas], y puede continuar de esta manera

Ahora veamos, utilizando la parte técnica, qué hace la operación recursiva [math] p \ mapsto p ^ 2 +4 [/ math] [math] \ mod 13 [/ math] en 7 valores posibles.

Tenemos:
[matemáticas] 4 \ mapsto 7 [/ matemáticas]
[matemáticas] 5 \ mapsto 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] 8 \ mapsto 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] 0 \ mapasto 4 [/ matemáticas]
[matemáticas] 7 \ mapsto 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] 3 \ mapsto 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] 1 \ mapasto 5 [/ matemáticas]

es decir
[matemáticas] 8 \ mapsto 3 \ mapsto 0 \ mapsto 4 \ mapsto 7 \ mapsto 1 \ mapsto 5 \ mapsto [/ math] [matemáticas] 3 \ mapsto 0 \ mapsto 4 \ ldots [/ math]

Implica que una recursión [matemática] x_n = x_ {n-1} ^ 2 +4 [/ matemática] con [matemática] x_0 = p ^ 2 +4 [/ matemática] le proporciona una secuencia periódica [matemática] \ mod 13 [/ math] (hasta un período anterior [math] 8 \ mapsto 3 [/ math]) con un período [math] 6 [/ math]. En particular, cada sexto miembro es divisible por [matemáticas] 13 [/ matemáticas].
Esto lleva a una contradicción, es decir, [math] S = \ varnothing [/ math].

Answer 3

Básicamente, la pregunta debe reformularse de la siguiente manera: ¿hay primos de la forma [math] pq + 4 [/ math] donde [math] p, q [/ math] son ​​primos? Si lo son, considerando [math] S [/ math] como un subconjunto de los números naturales [math] \ mathbb {N} [/ math], debe estar delimitado a continuación. Deje que [math] l [/ math] sea el mínimo primo de la forma [math] pq + 4 [/ math]. Es decir, [matemáticas] l = pq + 4 [/ matemáticas]. Con el amor de Dios, suponga que [matemáticas] p> q [/ matemáticas]. Entonces, [matemáticas] q ^ 2 + 4

En esa notación establecida, eso está mal definido, haciendo que S esté vacía.

Answer 4

Claramente 2 no pertenece a S.

Si 3 pertenecía a S, entonces [matemática] 3 ^ 2 + 4 = 13 [/ matemática] está en S y también [matemática] 3 \ veces 13 + 4 = 43. [/ Matemática] Pero [matemática] 3 \ veces 43 + 4 = 133 [/ matemáticas] que no es primo y por lo tanto 3 no está en S.

Ahora considere la secuencia

[matemáticas] {a_1} = a_0 ^ 2 + 4 [/ matemáticas] y para [matemáticas] n> 1 [/ matemáticas], [matemáticas] {a_n} = {a_0} {a_ {n – 1}} + 4 [ /matemáticas].

Entonces [matemáticas] {a_4} = {a ^ 5} + 4 {a ^ 4} + 4 {a ^ 3} + 4 {a ^ 2} + 4a + 4 [/ matemáticas]

Si la recursividad no nos lleva a [matemática] a_4 [/ matemática], entonces [matemática] a_0 [/ matemática] no está en S. Si la recursión llega a [matemática] a_4 [/ matemática], observe que si [ matemática] a_0 [/ matemática] no es un múltiplo de [matemática] 3 [/ matemática] entonces [matemática] a_4 [/ matemática] es y así [matemática] a_0 [/ matemática] no es es [matemática] S [/ matemática ]