[matemáticas] \ large S = 1 + \ frac {1} {2 ^ 2} – \ frac {1} {3 ^ 2} – \ frac {1} {4 ^ 2} + \ frac {1} {5 ^ 2} + \ frac {1} {6 ^ 2} – \ ldots [/ math]
[matemáticas] \ large S = \ left (1 – \ frac {1} {3 ^ 2} + \ frac {1} {5 ^ 2} – \ frac {1} {7 ^ 2} + \ ldots \ right) + \ left (\ frac {1} {2 ^ 2} – \ frac {1} {4 ^ 2} + \ frac {1} {6 ^ 2} – \ ldots \ right) [/ math]
[matemáticas] \ large S_2 = \ frac {1} {2 ^ 2} \ left (1 – \ frac {1} {2 ^ 2} + \ frac {1} {3 ^ 2} + \ ldots \ right) [ /matemáticas]
[matemática] \ grande \ implica 4S_2 = 1 – \ frac {1} {2 ^ 2} + \ frac {1} {3 ^ 2} + \ ldots [/ matemática]
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- Deje [math] A = \ {1,2,3, .., 10 \} [/ math] y [math] B = \ {1,2, …, 5 \} [/ math]. [matemática] f: A \ rightarrow B [/ matemática] es una función no decreciente. ¿Cuántas de esas funciones hay?
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Tenga en cuenta que: [math] \ large \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ 2} = \ frac {\ pi ^ 2} {6} [/ math]
[matemáticas] \ large 4S_2 – \ frac {\ pi ^ 2} {6} = -2 \ times \ left (\ frac {1} {2 ^ 2} + \ frac {1} {4 ^ 2} + \ frac {1} {6 ^ 2} + \ ldots \ right) [/ math]
[matemáticas] \ large 4S_2 – \ frac {\ pi ^ 2} {6} = – \ frac {2} {2 ^ 2} \ times \ left (1 + \ frac {1} {2 ^ 2} + \ frac {1} {3 ^ 2} + \ ldots \ right) = – \ frac {\ pi ^ 2} {12} [/ math]
[matemática] \ grande 4S_2 = \ frac {\ pi ^ 2} {12} \ implica S_2 = \ frac {\ pi ^ 2} {48} [/ matemática]
[matemáticas] \ large S = \ left (1 – \ frac {1} {3 ^ 2} + \ frac {1} {5 ^ 2} – \ frac {1} {7 ^ 2} + \ ldots \ right) + \ frac {\ pi ^ 2} {48} = G + \ frac {\ pi ^ 2} {48} [/ math] donde G es la constante del catalán