¿Qué es [math] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} I_n [/ math] donde [math] I_n [/ math] es la enésima integral de un polinomio [math] P (x) [/ math]?

Answer 1

Es posible que deba especificar más detalles si está interesado en la convergencia de puntos sabios en [math] x [/ math]. Aquí hay algunas observaciones:

(1) Dado que [matemáticas] P (x) [/ matemáticas] es un polinomio de grado [matemáticas] N [/ matemáticas] (digamos), [matemáticas] I_n [/ matemáticas] es un polinomio de grado [matemáticas] N + n [/ matemáticas]. Claramente, el límite de [matemáticas] I_n [/ matemáticas] como [matemáticas] n \ rightarrow \ infty [/ matemáticas] sería una serie de potencia. Por lo tanto, desde el principio uno ve que si existe tal serie, tendría sentido dentro de un radio de convergencia. Entonces, la convergencia puntual de [matemática] I_n (x) [/ matemática] a un límite [matemática] I_ \ infty (x) [/ matemática] será significativa en un conjunto restringido.

(2) Usando ansataz [matemáticas] I_ \ infty (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} c_n x ^ n [/ matemáticas] y sustituyendo * en la recurrencia (en el límite)
[matemáticas] I_n = \ int I_ {n-1} dx [/ matemáticas]
seguido de comparar los poderes de [math] x [/ math] en cualquier lado da [math] c_n = c_0 / n! [/ math] o [math] I_ \ infty (x) = c_0 e ^ x [/ math]. Tenga en cuenta que [math] c_0 [/ math] es un escalar arbitrario. Como verificación, la sustitución [matemática] c_0 e ^ x [/ matemática] en la recurrencia arrojará una constante arbitraria a la derecha, que debe elegirse como cero para que la igualdad se mantenga en el límite.

( * Esto no es del todo correcto, ya que intercambiamos el orden de suma e integración en el lado derecho, lo que podría generar problemas).

(3) Tomemos la ruta directa. Decir
[matemáticas] P (x) = \ sum_ {k = 0} ^ {N} a_k x ^ k [/ matemáticas]
Ahora,
[matemáticas] I_1 = \ sum_ {k = 0} ^ {N} \ frac {a_k} {k + 1} x ^ {k + 1} + d_1 [/ matemáticas]
donde, [math] d_1 [/ math] es una constante arbitraria de integración.

[matemáticas] I_2 = \ sum_ {k = 0} ^ {N} \ frac {a_k} {(k + 1) (k + 2)} x ^ {k + 2} + d_1 x + d_2 [/ matemáticas]
…
[matemáticas] I_n = \ sum_ {k = 0} ^ {N} \ frac {a_k} {\ frac {(k + n)!} {k!}} x ^ {k + n} + \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} d_ {nk} \ frac {x ^ k} {k!} [/ Math].

Reetiquetando las constantes arbitrarias [math] d_k, 1 <k <n-1 [/ math] como [math] d_ {nk} [/ math]

[matemáticas] I_n = \ sum_ {k = 0} ^ {N} \ frac {a_k} {\ frac {(k + n)!} {k!}} x ^ {k + n} + \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} d_k \ frac {x ^ k} {k!} [/ Math].

Dejar [math] n \ rightarrow \ infty [/ math] en [math] I_n [/ math] es complicado. Escribiendo este límite formalmente tenemos

[matemáticas] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} I_n = \ sum_ {k = 0} ^ {N} a_k \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {k!} {(k + n)!} x ^ {k + n} + \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} d_k \ frac {x ^ k} {k!} [/ math].

Considere la segunda suma, que por la prueba de razón convergerá cuando
[matemáticas] \ lim_ {k \ rightarrow \ infty} \ left | \ frac {d_ {k + 1}} {d_k} \ frac {k!} {(k + 1)!} \ frac {x ^ {k + 1}} {x ^ k} \ right | <1 [/ math]. Si [math] \ lim_ {k \ rightarrow \ infty} \ left | \ frac {d_ {k + 1}} {(k + 1) d_k} \ right | [/ math] existe ([math] = 1 / \ rho [/ math] say), entonces el radio de convergencia de la segunda serie se convierte en [math] \ rho [/ math]. Ahora, considere los límites dentro de la primera suma
[matemáticas] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {k!} {(k + n)!} x ^ {k + n}, 1 <k <N [/ matemáticas]. Estas secuencias convergen a cero cuando [math] | x | \ leq 1 [/ math]. No estoy seguro del límite para otros valores de [matemáticas] x [/ matemáticas]. En cualquier caso, si [math] \ rho <1 [/ math] será el radio de convergencia de [math] I_ \ infty (x) [/ math]. Curiosamente, la primera suma cae a cero, lo que hace que [math] I_ \ infty (x) [/ math] sea completamente independiente de [math] a_k, 0 <k <N [/ math] y, por lo tanto, independiente del polinomio [math] P (x) [/ math], que es bastante extraño. Y todo lo que queda es una serie arbitraria [matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} d_k \ frac {x ^ k} {k!} [/ Matemáticas]. Esto es totalmente incompatible con nuestra suposición (2). En ese caso, la secuencia de integrales no tiene límite.

Para agilizar el análisis, debe proporcionar más detalles sobre la integral, al menos un límite inferior y también posiblemente el modo de convergencia, puntual o uniforme, etc.

¡Espero que esto ayude!