¿Cuál es la intersección teórico-esquemática completa de dos cuádricos lisos en [math] \ mathbf {P} ^ 3 _ {\ mathbf {C}} [/ math], y cómo se relaciona con una curva elíptica?

Es correcto que la intersección sea una curva elíptica.

Es incorrecto decir que “una curva elíptica tiene grado 3”. El grado de una curva no es una invariante intrínseca de la curva: es una propiedad de la inclusión particular en el espacio proyectivo.

Es correcto decir que las únicas curvas planas suaves que son curvas elípticas son las curvas planas de grado 3, pero esto falla miserablemente en las dimensiones superiores. De hecho, cualquier curva elíptica [matemática] C [/ matemática] puede incrustarse en [matemática] \ mathbb {P} ^ 3 [/ matemática] como una curva de cualquier grado [matemática] d \ geq 3 [/ matemática]. (Cuando [math] d = 3 [/ math], tal incrustación necesariamente incrusta [math] C [/ math] en un plano [math] \ mathbb {P} ^ 2 \ subset \ mathbb {P} ^ 3 [/ matemática], mientras que para [matemática] d \ geq 4 [/ matemática] la imagen debe ser no degenerada).

Su intersección de dos cuádricos no está contenida en ningún plano, y la curva es una curva elíptica de grado 4 no degenerada en [math] \ mathbb {P} ^ 3 [/ math].