¿Cómo explican las matemáticas los patrones?

Answer 1

La entropía de Shannon proporciona un método general para detectar y medir patrones en la información, pero no necesariamente los explica. Las nociones de entropía de la termodinámica se generalizaron a la información por Claude Shannon de Bell Labs [ver Wikipedia Entropía (teoría de la información)]. La entropía H mide el trastorno, por lo que uno esperaría que 011101000110 tenga una entropía alta y 0101010101 tenga una entropía baja [debido al patrón].

Los patrones corresponden a bajos niveles de trastorno, por lo que H = 0 indica un patrón. La definición de H que se ve en el artículo de Wikipedia usa un espacio muestral finito S y una probabilidad P en S; S y P variables. Por ejemplo, si S = {0,1} y P (0) = P (1) = 0.5, entonces H (1110100010) = H (0101010101) = 5> 0 no puede detectar un patrón [utilizando registros de base 2]. Pero para S = {00,01,10,11} y P (01) = P (10) = 0 y P (00) = P (11) = 0.5 obtenemos H (11 10 10 00 10) = 2 y H (01 01 01 01 01) = 0 [usando 0log (0) = 0]. Se ha detectado un patrón.

Las complejas herramientas de detección de patrones, apropiadas para genómica, interpretación de señales, matemáticas puras, etc., se basan en la entropía de Shannon. Pero la libertad en la selección S, P puede ser una oportunidad para hacer trampa.

Answer 2

Creo que puedes tenerlo al revés. Las matemáticas no explican tanto los patrones, ya que los patrones “explican” las matemáticas. Las matemáticas tienen que ver con patrones y el negocio de los matemáticos es descubrir o inventar (qué palabra es más apropiada es tema de profunda controversia) patrones. El matemático británico GH Hardy escribió en su maravillosa “Disculpa de un matemático” que “Un matemático, como un pintor o un poeta, es un creador de patrones. Si sus patrones son más permanentes que los de ellos, es porque están hechos con ideas”. ”

El método básico que usan los matemáticos para comprender y tejer patrones fue expuesto por Euclides hace 2300 años. Euclides comenzó con lo que él consideraba verdades evidentes (hay una línea recta única entre dos puntos) y las rígidas reglas de la lógica y demostró más allá de cualquier argumento sobre verdades sobre números y formas. Los métodos de Euclides todavía se usan hoy y sus resultados todavía se usan hoy.

Eventualmente, los matemáticos descubrieron que al usar diferentes axiomas, podrían surgir diferentes campos matemáticos, repletos de nuevos patrones. Descubrieron que el famoso quinto postulado de Euclides, el llamado postulado paralelo, no era necesariamente cierto (es decir, no se deducía de los otros postulados). El postulado establece que dada una línea y un punto que no está en esa línea, es posible dibujar una sola línea a través de ese punto que nunca se cruza con la línea dada. Pero, ¿y si no pudieras dibujar ni una sola línea paralela? ¿O si pudieras dibujar muchos? En el siglo XIX, Lobachevski y Reimann descubrieron que estas variaciones llevaron a la idea del espacio curvo. En el siglo XX, Albert Einstein utilizó estas matemáticas para establecer que el espacio en el que vivimos no es en realidad el espacio plano de Euclides, sino un continuo curvo. ¡Es increíble que la búsqueda de patrones nos pueda llevar!