¿Existe una forma intuitiva de mostrar la relación entre la función zeta de Riemann y los números de Bernoulli?

Answer 1

“Intuitivo” y la función zeta de Riemann rara vez van bien juntas, pero daré lo mejor de mí para dar una derivación sensata del resultado.

Lo que vamos a mostrar es que si [math] Re (s)> 1 [/ math], entonces

[matemáticas] \ displaystyle \ zeta (s) = \ frac {1} {\ Gamma (s)} \ int_0 ^ \ infty \ frac {x ^ s} {e ^ x – 1} dx [/ math].

Esto nos llevará a la mitad del camino, ya que una posible forma de definir los números de Bernoulli [math] B_m [/ math] es como las constantes únicas tales que

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {x} {e ^ x – 1} = \ sum_ {m = 0} ^ \ infty \ frac {B_m} {m!} x ^ m [/ math].

Para demostrar la identidad deseada para la función zeta, vamos a seguir un camino vagamente similar al que usé para derivar la ecuación funcional para zeta en esta respuesta. Es decir, vamos a hacer uso de la definición de transformación de Mellin de la función gamma y realizar ajustes hasta obtener el resultado deseado. Entonces, recuerda que

[matemáticas] \ displaystyle \ Gamma (s) = \ int_0 ^ \ infty e ^ {- x} x ^ s \ frac {dx} {x} [/ math].

Dividiendo por [matemáticas] n ^ s [/ matemáticas], esto da

[matemáticas] \ displaystyle \ Gamma (s) / n ^ s = \ int_0 ^ \ infty e ^ {- x} \ left (\ frac {x} {n} \ right) ^ s \ frac {dx} {x} [/matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int_0 ^ \ infty e ^ {- nx} x ^ s \ frac {dx} {x} [/ matemáticas],

donde hemos usado la sustitución en U [math] x \ mapsto nx [/ math]. Ahora, sumando todos los enteros [matemáticas] n [/ matemáticas], obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ Gamma (s) \ zeta (s) = \ int_0 ^ \ infty \ left (\ sum_ {n = 1} ^ \ infty e ^ {- nx} \ right) x ^ s \ frac {dx } {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int_0 ^ \ infty \ frac {e ^ {- x}} {1 – e ^ {- x}} x ^ s \ frac {dx} {x} [/ math]

[matemática] \ displaystyle = \ int_0 ^ \ infty \ frac {x ^ s} {e ^ x – 1} \ frac {dx} {x} [/ math],

donde hemos utilizado la expansión de Taylor [matemáticas] \ frac {t} {1 – t} = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty t ^ n [/ matemáticas] y conectando [matemáticas] t = e ^ {- x} [/ matemáticas]. Por lo tanto, concluimos que

[matemáticas] \ displaystyle \ zeta (s) = \ frac {1} {\ Gamma (s)} \ int_0 ^ \ infty \ frac {x ^ s} {e ^ x – 1} \ frac {dx} {x} [/matemáticas],

como se desee. Ahora, es realmente tentador simplemente reemplazar [matemáticas] \ frac {x} {e ^ x – 1} [/ matemáticas] en esta integral con la expansión de Taylor e intentar seleccionar los números de Bernoulli de esa manera. Sin embargo, esto no funcionará, ya que el radio de convergencia no es infinito, por lo que si intentamos esto, terminaremos con una integral horriblemente divergente. Entonces, tendremos que hacer algo un poco más inteligente.

Específicamente, nuevamente vamos a sacar una hoja de la prueba de la ecuación funcional de la función zeta y dividir esta integral en dos partes: una pieza convergerá claramente para cualquier [matemática] s [/ matemática], y la segundo, lo reorganizaremos hasta obtener una expresión que converja para cualquier [math] s \ neq 1 [/ math]. Esto es,

[matemáticas] \ displaystyle \ zeta (s) = \ frac {1} {\ Gamma (s)} \ int_0 ^ 1 \ frac {x ^ s} {e ^ x – 1} \ frac {dx} {x} + \ frac {1} {\ Gamma (s)} \ int_1 ^ \ infty \ frac {x ^ s} {e ^ x – 1} \ frac {dx} {x} [/ math],

y la integral de la mano derecha es claramente convergente en todas partes, ya que [math] \ frac {1} {e ^ x – 1} \ rightarrow 0 [/ math] rápidamente como [math] x \ rightarrow \ infty [/ math]. Entonces, solo tenemos que considerar qué hacer con la integral de [matemáticas] 0 [/ matemáticas] a [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Afortunadamente, en esta región, podemos hacer uso de la expansión de Taylor de [math] \ frac {x} {e ^ x – 1} [/ math], y así podemos reescribir esto como

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ 1 \ frac {x ^ s} {e ^ x – 1} \ frac {dx} {x} = \ int_0 ^ 1 \ left (\ sum_ {m = 0} ^ \ infty \ frac {B_m} {m!} x ^ m \ right) x ^ {s – 1} \ frac {dx} {x} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ sum_ {m = 0} ^ \ infty \ frac {B_m} {m!} \ int_0 ^ 1 x ^ {m + s – 2} dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ sum_ {m = 0} ^ \ infty \ frac {B_m} {m! (m + s – 1)} [/ math].

Por lo tanto, vemos que

[matemáticas] \ displaystyle \ zeta (s) = \ frac {1} {\ Gamma (s)} \ sum_ {m = 0} ^ \ infty \ frac {B_m} {m! (m + s – 1)} + \ frac {1} {\ Gamma (s)} \ int_1 ^ \ infty \ frac {x ^ s} {e ^ x – 1} \ frac {dx} {x} [/ math].

Si bien voy a omitir estos detalles técnicos, en principio puedes mostrar que esta expresión es convergente para todos [math] s [/ math] que no son enteros menores o iguales a 1. Además, razonando sobre los polos de [math ] \ Gamma (s) [/ math], en realidad puede usar esto para mostrar que esto define una continuación analítica de [math] \ zeta (s) [/ math] en todo el plano complejo, menos un polo en [math] s = 1 [/ matemáticas].

Ahora, lo que queda es demostrar que si [math] k [/ math] es un entero positivo, entonces

[matemáticas] \ displaystyle \ zeta (1 – k) = \ lim_ {s \ rightarrow 1 – k} \ left (\ frac {1} {\ Gamma (s)} \ sum_ {m = 0} ^ \ infty \ frac {B_m} {m! (M + s – 1)} + \ frac {1} {\ Gamma (s)} \ int_1 ^ \ infty \ frac {x ^ s} {e ^ x – 1} \ frac {dx } {x} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim _ {\ delta \ rightarrow 0} \ left (\ frac {1} {\ Gamma (1 – k + \ delta)} \ sum_ {m = 0} ^ \ infty \ frac {B_m} {m! (m – k + \ delta)} + \ frac {1} {\ Gamma (1 – k + \ delta)} \ int_1 ^ \ infty \ frac {x ^ {\ delta – k}} {e ^ x – 1} dx \ right) [/ math]

es alguna expresión en términos de [matemáticas] B_m [/ matemáticas]. Esto puede parecer desagradable, pero en realidad no es tan malo, el truco es mostrar que

[matemáticas] \ displaystyle \ lim _ {\ delta \ rightarrow 0} \ delta \ \ Gamma (1 – k + \ delta) = \ frac {1} {(1 – k) (2 – k) (3 – k) \ ldots (-2) (- 1)} = (-1) ^ {k – 1} \ frac {1} {(k – 1)!} [/ math].

¿Cómo ayuda esto? Bueno, para empezar, muestra que [matemáticas] \ lim _ {\ delta \ rightarrow 0} \ frac {1} {\ Gamma (1 – k + \ delta)} = 0 [/ matemáticas], lo que significa que cualquier término en la suma o integral que no se aproxima a [math] \ infty [/ math] tenderá hacia cero. Entonces, de inmediato, sabemos que

[matemáticas] \ displaystyle \ zeta (1 – k) = \ lim _ {\ delta \ rightarrow 0} \ frac {1} {\ Gamma (1 – k + \ delta)} \ frac {B_k} {k! \ delta} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = (-1) ^ {k – 1} \ frac {B_k (k – 1)!} {k!} = (-1) ^ {k – 1} \ frac {B_k} {k} [/matemáticas].

Entonces, todo lo que queda es probar la validez del límite establecido. Para hacer esto, hacemos uso del hecho de que

[matemáticas] \ displaystyle s \ Gamma (s) = \ Gamma (s + 1) [/ math],

por lo tanto

[matemáticas] \ displaystyle \ Gamma (1 – k + \ delta) = \ frac {1} {1 – k + \ delta} \ Gamma (2 – k + \ delta) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {1} {(1 – k + \ delta) (2 – k + \ delta) \ ldots (-2 + \ delta) (- 1 + \ delta) \ delta} \ Gamma ( 1 + \ delta) [/ matemáticas].

A partir de esto, y el hecho de que [math] \ Gamma (1) = 1 [/ math], se sigue el límite deseado, y hemos terminado.